Hogyan kell változó helyett összetett függvény szerint deriválniy és integrálni? Például dx^2/de^x, Int e^x d (sin (x) )

Mindkét esetben (deriváláskor és integráláskor is) arra kell törekedni, hogy visszavezesd egy x-szerinti deriváltra/integrálra.

Jól indultál el:

tehát legyen u=e^x

ln(u)=x

deriváljuk u szerint: dx/du = 1/u

Mivel az x^2 függvényt u-szerint kell deriválnunk, rendezzük át az egészet du-ra.

du = u*dx = e^x*dx

Ahogy látod sikerült kifejeznünk du-t dx segítségével, úgy hogy az eltűnjön a képletből. Innentől egyszerűen behelyettesítünk.

dx^2/de^x = dx^2/du = dx^2/(e^x*dx) = e^(-x)*dx^2/dx = e^(-x)*2x

Alkalmazzunk hasonló módszert az integrálnál is.

Esetünkben legyen sin(x)=u

Ekkor x=arcsin(u) (Itt már születhet két megoldás is)

Ismét deriválunk u szerint: dx/du=1/gyök(1-x^2)

Ebből du=dx*gyök(1-x^2)

Behelyettesítés után:

Integrál(e^x*gyök(1-x^2))dx

Mivel röpke válasznak indult, ezért nem nagyon látom értelmét, hogy integráljam is :D

Bocsánat, az integrálnál rosszul indultam el.

ha u=sin(x)

akkor du/dx=cos(x)

du=dx*cos(x)

Integrálba behelyettesítés után:

Integrál(e^x*cos(x))dx

Amit elvégezve kapjuk, hogy e^x*(sin(x)+cos(x))/2