Tétel: Ha A is, B is üres halmaz, akkor A = B?

Feltételezük, hogy nem egyenlőek

Ha nem egyenlőek akkor van legalább egy elem ami az egyikben benne van a másikban nincs.

De mivel nincs ilyen elem, így ellentmondásra jutunk A=B

Elvben: "Két halmazt akkor és csak akkor tekinthetünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemeivel azonosak. "

Vagy inkább talán úgy is fogalmazhatnánk, hogy A és B halmaz akkor egyenlő, ha A részhalmaza B-nek, és B részhalmaza A-nak. (Mondjuk a részhalmaznál is lehet némi ellentmondás.)

Amúgy természetesen két üres halmaz egyenlő. Ha mindkettőhöz hozzáadjuk ugyanazt az elemet, akkor egyenlőek lesznek, szóval előtte is egyenlőnek kellett lenniük.

Még egy magfogalmazás:

A és B halmaz akkor egyenlő, ha A-nak nincs olyan eleme, ami B-nek nem eleme, és B-nek sincs olyan eleme, ami A-nak nem eleme.

Ez üres halmazokra is működni fog.