Létezik olyan szám, aminek van utolsó számjegye, viszont az első és az utolsó számjegye között végtelen sok számjegy van?

Igen; itt a probléma elsődleges az, hogy ha egy egész számot végtelen sok számjeggyel szeretnél leírni, akkor az semmi szín alatt nem lehet véges.

Olyan irracionális szám pedig van, ahol úgy váltakoznak a számjegyek, ahogyan te szeretnéd; maradjunk a példádnál:

a 0,375375375... racionális számot fel tudjuk írni két szám hányadosaként a következő metodikával:

Ha X=0,375375..., akkor 1000*X=375,375375..., ekkor a két szám különbsége 999*X=375, tehát X=375/999 (számológéppel ellenőrizd, nehogy hazudjak!). Ha ehhez a számhoz hozzáadunk egy megfelelően kicsi irracionális számot, akkor 375375...375 "jó sokszor" fogják követni egymást, például ha azt mondjuk, hogy 375/999+e^(-googleplex) (tehát az Euler-féle (irracionális) szám a -googleplexedik hatványon), akkor ennek az összegnek a valós alakjában a 375375...375 több, mint elégszer fogják követni egymást (és azt már nem is kell talán mondanom, hogy ezt a megoldást még lehet cifrázni). Hogy konkrétan a pí-ben megtalálható-e ez a számsorozat, azt nem tudom (és persze más sem), de a valószínűség módszereivel számolva ennek a valószínűsége 1-hez tart, tehát "szinte biztos", de nem biztos. Viszont ezzel kapcsolatban szokták ezt mondani, hogy lehet, hogy egy végtelen tizedesjegyű számban "sokszor" (akár milliószor) váltakoznak ugyanazok a számjegyek, az még nem bizonyítja a számról, hogy racionális lenne, elvégre lehet, hogy valamelyik számjegy után már nem fog fennállni ismétlődés.

A számjegytartományos kérdésedre ugyanazzal a módszerrel lehet számot találni, mint amit az előbb megadtam (itt viszont már két racionális és egy megfelelően kicsi irracionális szám összegével lehet könnyedén ilyet konstruálni). Ennek a megléte pi-ben (és persze akármelyik irracionális számban) közel 1, tehát szinte biztos (de csak szinte).

"ehhez a számhoz hozzáadunk egy megfelelően kicsi irracionális számot, akkor 375375...375 "jó sokszor" fogják követni egymást"

Ezt nem értem: hiszen már eleve is végtelen sokszor követték egymást a 375-ök. Mi szükség van a kicsi irracionális szám hozzáadására?

"több mint elégszer fogják követni egymást"

?? mi az "elég"?

(Nem vagyok matematikaprofesszor, ezeket "csakúgy" kérdezem, a válasz reményében. :-)

Oké, fogsz egy tollat és egy papírt. Elkezded leírni a számjegyeket. Ha végtelen számjegy van, akkor soha – értsd: SOHA – nem érsz a végére, nem lesz egy utolsónak leírt szám. Pont ezért hívják végtelennek, mert nincs vége. Ha viszont leírsz egy utolsó számjegyet, akkor véges számú számjegyet írtál le, hiszen a számjegyek sorának vége lesz az utolsó leírt számjegy.

Most olyan van, hogy egy végtelen számjegyből álló számnak ismert bármelyik számjegye. Mondjuk ha csupa egyes számjegyet írsz le, akkor bármelyik számjegyről meg tudod mondani, hogy milyen. 5782. számjegy? Egyes. 951 158. számjegy? Egyes. De utolsó számjegye nincs ennek a számnak.

Persze értelmezés kérdése, hogy mit tekintünk utolsó számjegynek, és mit elsőnek. Pl. ha hátulról előre kezded leírni a számot, akkor bizonyos értelemben van utolsó számjegy. Pl. ha leírod a 1234-et, akkor írhatod visszafele is:

4

34

234

1234

Ilyen értelemben a 4-est lehet utolsó számjegynek nevezni. De akkor is a szám ha végtelen számjegyből áll, akkor „első” számjegye nem lesz.

BringaManó:

1. Azért kell hozzáadni, mert a kérdező az irracionális számokra volt kíváncsi, és tudjuk, hogy racionális+irracionális=irracionális, tehát biztos, hogy irracionális számot kapunk. Viszont itt talán egy kicsit "csaltam", elvégre az első tizedesjegytől kezdve fog váltakozni, és nem a "közepétől", ahogy esetleg a pí-nél lenne. Ezt is lehet javítani; adjuk hozzá a következő tagot: [pí*10^k]/10^k, ahol a szögletes rész a szám (alsó) egészrészét jelenti és k pozitív egész szám, például ha k=5, akkor a zárójelen belüli rész értéke 31415,9..., ennek az alsó egészrésze ("lecsapjuk" a tizedes részt) 31415, így a tört értéke 3,1415. Ezt hozzáadjuk a számhoz: 3,516965375375...+e^(-googleplex), így a hetedik tagtól fog elkezdődni ismétlődni a 375. Tehát k helyére bármilyen számot írhatunk, így eltoljuk az ismétlődő részt.

2. Az "elég"-et úgy értettem, hogy a kérdező "milliószor" akarja, hogy ismétlődjenek a számjegyek. Ha ilyen kicsi számot teszünk a kitevőbe, akkor jó sokáig fognak váltakozni a számjegyek (hogy pontosan meddig, azt nem tudom, de milliószor biztosan, ezért is írtam, hogy "több, mint elégszer").

Kérdező:

1. Olyan szempontból jogos a kérdés, hogy ha van végtelen tizedesjegyű szám (ugye az irracionális számok mind ilyenek), akkor lehet-e végtelen helyiértékű szám. A választ az egyetemi matek kalkulusán (és/vagy analízisén) találjuk a végtelen sorok összegénél; minden szám felbontható számok összegére; a legegyszerűbb, ha helyiértékek szerint bontjuk szét a számokat, például:

352=300+50+2

3,1416=3+0,1+0,04+0,001+,0006

Szerintem ennyi elég, hogy megértsd.

Az irracionális számokat is fel lehet bontani ilyen összegekre:

e=2+0,7+0,01+0,001+... és így tovább. Az analízis szerint ezen számok összegének határértéke e, ami azt jelenti, hogy minél többet adunk össze belőlük, annál inkább megközelítjük e értékét (nem meglepő, elvégre e számjegyeivel számoltunk).

Olyan összeg is van, ahol az összeg határértéke pí^2/6; ez a következő sorozat: 1/1+1/4+1/9+1/16+... tehát az 1/k^2 (k pozitív egész) alakú törteket adjuk össze.

Ebben a két esetben az volt a közös, hogy az összeadás tagjai egyre kisebbek és 0-hoz tartanak. Tehát csak abban az esetben beszélhetünk véges határértékösszegről, hogyha a tagok a végtelenben 0-hoz tartanak, vagyis ha nem 0-hoz tartanak, vagy divergens, akkor semmi szín alatt nem lehet véges az összegük.

Ez a feltétel viszont nem elégséges; tudunk olyan sort is mondani, ahol a tagok 0-hoz tartanak, az összegük mégsem tart sehova: 1/1+1/2+1/3+1/4+..., tehát az 1/k alakú számok összege.

Hogyha a te példádat vizsgáljuk, akkor ezt kapjuk: 1+10+100+..., a tagok a végtelenbe tartanak, tehát az összegük semmiképp sem lehet véges, vagyis végtelen. A végtelen meg ugye nem szám, tehát ilyen szám nincs (tehát csak véges sokszor követhetik egymást a számjegyek, olyan lehet).

Ajánlom figyelmedbe a Graham-számot; az eddigi legnagyobb szám, ami valamilyen matematikai bizonyításnál előkerült:

[link]

Nehéz elképzelni is, hogy mekkora szám lehet ez, viszont ebben sincsenek végtelen sokszor egymást követő számjegyek.

2. Lehet, hogy vannak más módszerek is, én ezt az egyet ismerem, és mindig lehet használni. A lényeg az, hogy mindig 10 megfelelő hatványával kell a számot szorozni, a megfelelő hatvány pedig az, amelyik esetben ha kivonjuk belőle az eredetit, akkor egész számot kapunk. Például ha azt mondom, hogy írjuk fel a 0,123456789...-et tört alakban, akkor így járunk el:

Ha X=0,123456789, akkor 1.000.000.000*X=123.456.789,123456789..., akkor a kettő különbsége 999.999.999*X=123456789, innen X=123.456.789/999.999.999 (számológéppel lehet ellenőrizni ezt is). Ha lehet, akkor a törtet egyszerűsíthetjük, mert úgy "szép", ha a számláló és a nevező relatív prímek: 13.717..421/111.111.111.

Érdekesség: írjuk fel a 0,999... számot törtalakban: X=0,999..., 10*X=9,999..., különbségük 9*X=9, tehát X=9/9=1, vagyis 1=0,999... Mivel biztosan jól számoltunk, ezért ennek így kell lennie. Ez viszont választ ad arra az általános iskolás kérdésre, hogy ha egy tortát felosztunk 3 egyenlő részre, akkor a részek nagysága 0,333..., és ezek összege hogy a fenébe lehet 1, amikor ezek összege 0,999... nos, 1=0,999 (ezzel is foglalkozik a kalkulus; minden 0-tól különböző egész szám felírható két alakban; a második alak az, amit most látunk).