Függvénysorok elmagyarázása?

szerintem picit kevered a dolgokat, szóval a függvény sorozat, egy oylan sorozat, ami nem számokból, hanem azonos értelmezési tartományú függvényekből áll, ennek a sorozatnak az n. tagja egy n paraméterrel ellátott egyszerű valós függvény. példádul a függvény sorozatod lehet f_n(x)=-x*n, ekkor a sorozatod tagjai: -x*1,-x*2,-x*3... tehát valós függvények. A függvénysor definíció szerint ezen függvények szummája végtelenig, tehát az összes pozitív n esetén össze kell adni ezeket a függvényeket, amit véges szummázások limeszeként tudsz értelmezni, ebben a példában N=1-re ez az összeg: -x*1, N=3-re az összeg -x*1+(-x*2)+(-x*3), ami változó N-re kifejezhető zárt alakban, -N*x*(1+2+3+..+N)=-N*x*(N+1)*N/2, és itt N-el tartunk végtelehez, hogy végtelen szummázást kapjunk. Ez a feladat végtelenben végtelenhez tart, tehát a függvénysor divergens.

A példa, amit felhoztál f_n(x)=-x is egy függvénysorozat, aminek van függvénysora (szintén divergens), de ez egy speciális eset, ahol a függvénysorozat összes tagja ugyan az (-x,-x,-x,-x,...) mert nem függ n-től. (a nem létező n-be behelyettesítettem úgy kaptam a tagokat)

Ha ennek veszem a tagjainak az összegét, N=1-re -x, N=2-re -x-x stb, változó N-re kifejezhető -N*x, ami tart végtelenhez, ha N tart végtelenhez, ezért divergens.

Abban az esetben, ha nem divergens, a határérték egy függvény lesz.

Nem tudom konvergencia területen mennyire vagy jártas, de fontos még ehhez tudni, hogy ebben az esetben pontonkénti határértéket veszünk és nem folytonos konvergenciát.

a függvénysor, az a függvény sorozat tagjainak az összege, de mivel végtelen összeget nem tudunk iylen egyszerűen definiálni (mert végtelen összegek esetén mások a tulajdonságok, mint véges összegzés esetén), ezért ezt úgy oldjuk meg, hogy a függvény sorozat első N tagját összegezzük, ez egy véges összegzés, és ezzel kapunk egy N-től függő függvény sorozatot, ahol N-el tartunk végtelenhez, ezzel megkapjuk az eredeti függvénysor értékét.

Ha az előadást ki is hagytad, javaslom nézz utána pontosabban könyvekben (Obádovics-Felsőbb matematika könyvben az ilyesmik eléggé érthetően le vannak írva), ha van ncore-od, onnan is le tudod tölteni, de tényleg érdemes megvenni is, az Obádovics könyvek legtöbb egyetem és főiskola anyagát szépen lefedik.