Kör egyenletének kiszámítása?

#8 Pont az ilyen gondolatmenetek miatt utáltam mindig is a pusztán geometriai szemléletmódot:

"A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra."

Igen ezt a feltevést használta a #9-es hozzászóló is, ettől még én nem érzem ezt nyilvánvalónak, miből is következik ez?

"Definíció szerint a pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza. Tehát a kör sugara a pont és egyenes távolsága lesz, amit koordináta geometriában úgy számolhatunk, hogy az egyenes normált egyenletébe – az egységhossza normálvektorral felírt egyenletbe – helyettesítjük a pont koordinátáit"

A "tehát" szót elég erősnek érzem, mivel a definíció és az állítás között megint nincs közvetlen kapcsolat.

Én mondjuk az algebrai szemléletmódot mindig is többre tartottam, persze ez ízlés kérdése. Azt írod, hogy rengeteg ilyen feladatot oldottál meg, feltételezem ez középiskolában standard megoldási módszer. Ennek ellenére furcsának tartom, hogy esetleg ott olyan módszereket tanítanak, ami a probléma hátterébe semmilyen betekintést nem nyújt, bár így nem meglepő, hogy sokan elhatárolódnak a matematikától.

"koron rajta lesz az origo"

Ez csak elfajult kör esetén lehetséges.

> „#8 Pont az ilyen gondolatmenetek miatt utáltam mindig is a pusztán geometriai szemléletmódot:”

Ezt a te magánügyednek érzem… Másrészt a pont és egyenes távolságának ez a fajta kiszámítása elég erősen koordinátageometriás/vektoros szemléletmódot igényel, tehát nem pusztán elemi geometriai szemléletmódot alkalmaztam.

> „Ennek ellenére furcsának tartom, hogy esetleg ott olyan módszereket tanítanak, ami a probléma hátterébe semmilyen betekintést nem nyújt, bár így nem meglepő, hogy sokan elhatárolódnak a matematikától.”

Én a probléma geometriai hátterébe tekintettem bele egy kicsit, te az algebraiba. Csak te nem számítod az elemi geometriait, mert utálod, de erről már fentebb nyilatkoztam.

> „A "tehát" szót elég erősnek érzem, mivel a definíció és az állítás között megint nincs közvetlen kapcsolat.”

Pedig ott van abban a mondatban, amit utálsz:

Az érintési pontba húzott sugár hossza, mivel a merőleges az érintőre, a középpontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza, TEHÁT a középpont távolsága az egyenestől pontosan a kérdéses sugár.

> „Igen ezt a feltevést használta a #9-es hozzászóló is, ettől még én nem érzem ezt nyilvánvalónak, miből is következik ez?”

Definíció: a kör érintője olyan egyenes, aminek pontosan egy közös pontja van a körrel. (Remélem, ebben megegyezhetünk.)

Tétel: az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre.

Bizonyítás: „Ha a pontban merőlegest állítunk az oda vezető sugárra, a kör érintőjét kapjuk, mert a középpontnak ettől való távolsága a sugár. A ponton áthaladó más egyenes nem érintője a körnek, mert a ponthoz vezető sugár egy ilyen egyenesre nem merőleges, így a középpontnak ilyen egyenestől való távolsága a sugárnál kisebb, s a körnek az ilyen egyenessel két közös pontja van.” – Hajós: Bevezetés a geometriába, 15. §, 92. oldal.

És itt ugye még a kör és a pont és egyenes távolságának definícióját használtuk.

De ha már magyarázkodunk: tegnapi 22:05-ös választ magyarázzátok el nekem, ott nagyon nem világos, hogy milyen varázslás történik. „Még mindig nem tértem tőle magamhoz.” (Hasonlóan a javítása (22:15) is elég homályos, de mindegy…)

(((Végül, de ez nyilván csak elírás, azért zárójelben: a 22:05-ös válaszban és a 13:05-ös végén sugár (r) helyett sugárnégyzet (r^2) kell, hogy jó legyen.)))

Ok, az én érveim esztétikai jellegűek voltam, persze több megoldási módszer is működhet egy adott problémára. Bevallom én ezt a tételt nem ismertem. (persze szemléletesen nyilvánvalónak tűnik, de ez nem jelenti, hogy az is)

Az a válaszoló egyszerűen feltételezte, hogy az érintési pont az x=-1 egyenesre esik.

> Igen ezt a feltevést használta a #9-es hozzászóló is, ettől még én nem érzem ezt nyilvánvalónak, miből is következik ez?

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, az e érintő nem merőleges az E érintési pontban húzott sugárra. A kör O pontjából bocsássunk merőlegest az e érintőre, a merőleges talppontja legyen T. Ekkor az OTE háromszögnek T-nél derékszöge van, és az ezzel szemközti OE oldala a sugár. A háromszögnek az OE = r átfogója, az OT < r befogója lenne. Ez azonban lehetetlen, mert ekkor a T a kör belső pontja lenne. Az e érintőnek nem lehet belső pontja. Így a feltevés hibás, az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.