Kör egyenletének kiszámítása?

y=2*(-1)+5 = 3

Így az OE szakasz : 3-(-2)=5 = r

A sugár : 5

Az egyenes egyenlete 0-ra rendezve

2*x – 1*y + 5 = 0,

normálva

(2*x – y + 5)/gyök(2^2 + (–1)^2) = 0.

Az O pontot helyettesítve

r = |(2*(–1) – (–2) + 5)|/gyök(5) = |5|/gyök(5) = gyök(5).

A kör egyenlete

(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 5.

I (x+1)^2+(y+2)^2=r^2

II 2x-y+5=0

A II-es egyenletű egyenes pontosan akkor érinti az I-es egyenletű kört, ha a fenti egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van.

II y=2x+5

Ezt behelyettesítve I-be:

x^2+2*x+1+4*x^2+28*x+49=r^2

5*x^2+30*x+50=r^2

5x^2+30*x+50-r^2=0

Ennek a másodfokú egyenletnek, akkor lesz 1 megoldása, ha determinánsa 0:

900-20*(50-r^2)=0

20*r^2=100

r=5

> „Az #5-ös választól még mindig nem tértem magamhoz, például hol használtad azt, hogy körről és annak egy érintőjéről van szó?”

A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Definíció szerint a pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza. Tehát a kör sugara a pont és egyenes távolsága lesz, amit koordináta geometriában úgy számolhatunk, hogy az egyenes normált egyenletébe – az egységhossza normálvektorral felírt egyenletbe – helyettesítjük a pont koordinátáit (ahogy a 22:02-es válaszomban írtam). Itt az egyenes normálvektora a (2, –1) vektor, ebből úgy lesz egységhosszú vektor, ha elosztjuk a hosszával gyök(2^2 + (–1)^2) = gyök(5)-tel, persze hogy az egyenlőség igaz maradjon, az egész egyenletet ezzel kell osztani. Ezzel megvan a kérdéses sugár, és aztán még a kör egyenletét is felírtam a válaszban. (((Mondjuk kicsit már unom ezt a feladatot…)))

Egyebkent valoban, az ax+by+c=0 egyenestol a p,q pont (ap+bq+c)/sqrt(a^2+b^2) tavolsagra van ahogy ezt tobben is feszegettek, tehat a kor egyenlete (x-p)^2+(y-q)^2=(ap+bq+c)^2/(a^2+b^2) lesz, ebbe mar csak a kerdeses szamokat kell beirni, ld fent az eredmenyt. x^2+2x+y^2+4y=0 alakra is atirhato. A lenyeg az hogy negyzetgyokot vonni ebben a feladatban felesleges :)

Hazi feladat: honnan tudjuk az eredeti kerdesbol igen keves szamolassal hogy a koron rajta lesz az origo es hogy lehet ebbol a megfigyelesbol konnyen gyorsan a kivant eredmenyre jutni :) ?