A Weierstrass-tételben miért kötik ki, hogy a függvénynek folytonosnak kell lenni az adott intervallumon?

"A függvény értékeinek az infimuma a 0, a szuprémuma az 1, ezeket viszont nem veszi fel."

Ha zárt intervallumon nézzük, akkor felveszi őket. Ha nyílt intervallumon, akkor az 1-et nem veszi fel, de a nullát igen.

"A 0,5-ök a szélén vannak, de ettől még nem lesz belőlük se minimum, se maximum, van náluk kisebb és nagyobb felvett érték is"

A 0,5-ök az 1/gyök(2) helyen vannak. Ez az érték kb 0,7. Ha úgy érted hogy a szélén van, hogy a 0,7 közel van az 1-hez, akkor oké.

"f: [0,1] -> [0,1]"

Ezt a jelölést még életemben nem láttam. Egyik intervallum tart egy másik intervallumhoz?

"f(x)=x^2, x e (0,1)

=0,5, x=0, vagy x=0"

Ebből pedig még annyit sem értek. Az f(x) = x^2 még rendben van, de nem tudom mit keres utána egy X meg egy E betű, nem tudom, hogy a (0,1) miért lenne egyenlő 0,5-tel, és hogy X miért lenne egyenlő nullával.

Fősulin ilyeneket miért nem tanítottak nekem? Majdnem 80%-as volt az ez évi teljesítményem matekból, de ezeket így még az életben nem láttam jelölve.

Értem, most már világos.

"Az első jelölés azt jelenti, hogy az f függvény a [0,1] intervallumot képezi a [0,1] intervallumba."

A függvény a [0,1] intervallumban mi mást képezhetne, mint a [0,1] intervallumot? :)