Valaki segítene nekem matek versenyfeladatokban?

Ne privátba!

"Szia! :)

Ezeket kéne kidolgozni, de sehogy sem megy:/

1.Egy vendéglőbe tizenkét szomjas ember érkezett, és mindnyájan megittak egy pohár italt. Háromféle

italt fogyasztottak: az elsőből 150 Ft volt egy pohárral, a másodikból 300 Ft, a harmadikból 600 Ft.

Mindhárom italból fogyasztottak. Távozáskor összesen 3000 Ft-ot fizettek. Hányan fogyasztottak az

egyes italokból?

2. Van-e olyan x és y egész szám, amelyek megoldásai az

alábbi egyenletnek?

x*x-4xy=2014"

1.)

Vegyünk 3 változót, x, y és z, amik rendre azt jelentik, hogy hányan fogyasztottak az első, második és harmadik italból.

Így a következő megállapításokat tehetjük:

I. 1 <= x, y, z <= 10, és x, y, z egész számok (1, mert mindegyik italból fogyasztottak, 10, mert ha két italból a legkevesebbet 1-1-et ittak, akkor a harmadikból 10-et kellett fogyasztani, mert mindenki fogyasztott - ez utóbbit a feladat megoldásakor nem használjuk ki egyébként, és egészek, mert nem írták, hogy lehet zóna adagot is kérni :))

II. x + y + z = 12 (mert mindenki 1 italt ivott, 12 főnél az 12 ital)

III. 150x + 300y + 600z = 3000 (italok ára szorozva a mennyiséggel és ez összeadva adja a cechet.

II-est ha átrendezzük, akkor kapjuk: x = 12 - y - x (milyen meglepő)

III-ast osszuk 50-nel: 3x + 6y + 12z = 60

Az átrendezett kettest beírjuk a III-asba:

3(12 - y - z) + 6y + 12z = 60, amiből lesz:

y + 3z = 8

Az egyes és II-es megállapításokat figyelembe véve jöhet a próbálgatás:

1.) z = 1, y = 2, x = 6, ezt beírva az eredeti III-asba: 600 + 1500 + 900 = 3000, jeah, kijött, ellenőrzése jó, ez egy lehetséges megoldás.

2.) z = 2, y = 2, x = 8, ezt a III-asba írva: 1200 + 600 + 1200 = 3000 ez is annyi, ez is megoldás

3.) z = 3, y = -1... ez már nem lehet megoldás, mert nem hoztak magukkal a 300 Ft-os itókából a vendégek

4.) z = 4, y = -3... lást a 3.)-es indoklását

Ezekből már jól látszik, hogy csak akkor lesz megoldás ha z = 1 vagy z = 2. Tehát kétféleképpen lehetett italt kikérni. Ami kicsit fura számomra, hogy két megoldás is van, de nem látom a hibát, hogy hol számoltam volna el.

A másodikat nem tudom levezetni, pár dolgot leírtam, hátha segít.

x^2 - 4xy = 2014-ből lesz:

x^2 - 4yx - 2014 = 0, ami másodfokú megoldóképletben felhasználtam, ahol a = 1, b = -4y, c = -2014.

A megoldóképlet úgy alakul, hogy:

(4y +- gyök(16y^2+4*1*2014)) / 2

A /2 miatt x1 és x2 akkor lesz egész, ha a számlálóban páros szám áll.

A 4y páros, tehát ha a gyökös kifejezésnek is párosnak kell lennie.

Csak a gyökös kifejezést átalakítva:

gyök(16y^2 + 4*2014) = gyök(4*4y^2 + 4*2014) = gyök(4(4y^2 + 2014)) = gyök(4) * gyök(4y^2 +2014)

A gyök(4) = |2|, ami páros, tehát az eredeti gyökös kifejezés is páros lesz, ha a gyök(4y^2 + 2014) egész, vagyis akkor, ha a 4y^2 + 2014 az négyzetszám.

Tegyük fel, hogy a 4y^2 + 2014 négyzetszám, tehát:

4y^2 + 2014 = z^2

Átalakítva: -z^2 + 4^2 + 2014 = 0. Ismét a megoldóképletet használva, ahol a = -1, b = 0, c = 4y^2 + 2014, a diszkriminánsra (b^2 - 4ac) a következőt kapjuk:

- 4 * (4y^2 + 2014) = -16y^2 - 8056. Mivel az y^2 bármilyen y esetén, pozitív a -16*y^2 bármilyen y esetén negatív lesz, amit még tovább csökkentünk 8056-tal tehát a diszkrimináns mindenképpen negatív, vagyis nem lesz megoldás, vagyis nem létezik a z^2, tehát a 4y^2 + 2014 sosem lesz négyzetszám.

A korábbi láncon elindulva visszafelé kijelenthető, hogy nem létezik két olyan egész szám, amire teljesülne a két feltétel.

Éééééééééééés 6 éves matekozós / matek versenyzős kihagyás után piszok nagy királynak érzem magam, tehát aki hibát talál a levezetésben és ide még ki is írja azzal megetetem a billentyűzetét! :D

A második az egy nevezetes azonosság.

(a+b)2= a2+2ab+b2

x2-4xy=2014

2014=y2

y=44,8 -> tehát nincs egész megoldása.