Lim x->0 x/sqrt (1-cosx) határértéke miért lesz gyök2?

0/0. Akkó deriváltak. Asse jó, második deriváltak. Oszt kijön!

[link]

Sorfejtés:

cos x = 1 - x^2/2 +... (a többi tag elhanyagolható)

sqrt(1-cosx) = sqrt(1-1+x^2/2) = sqrt(x^2/2) = x/sqrt(1/2)

x/(x/sqrt(1/2)) = sqrt(2)

sqrt(1-cosx) = sqrt(1-1+x^2/2) = sqrt(x^2/2) = ± x/sqrt(1/2)

x/(±x/sqrt(1/2)) = ± sqrt(2)

AZ 1-cosx átírható: 1-cos(2y), ha y=x/2

cos(2y) pedig egyenlő 1-2(siny)^2-vel

1-cos(2y) pedig egyenlő 2(siny)^2-vel

sqrt(1-cos(2y)) pedig egyenlő sqrt(2)*abs(siny)-vel

így az eredeti függvény új alakja:

2y/[sqrt(2)*abs(siny)]

felhasználhatjuk, hogy y/sin(y) határértéke nulla a nullánál, ez alapján

2/sqrt(2) a határérték, ami sqrt(2)