Léteznek olyan valós, de nem egész számok, melyre teljesül, hogy a^x = b^y?

És gondolom olyan kell, ahol a fenti ismeretlenek különbözőek. Természetesen léteznek. Sőt végtelen mennyiségben. Sőt szigorúbb kritériumra is léteznek, léteznek ilyen transzcendens számok is.

Pl.:

π^e = (√π) ^ (2e)

3,1415926535… ^ 2,7182818284… = 1,7724538509… ^ 5,4365636569… = 22,4591577183…

A hatványozás azonosságaiból következik a fenti megoldás:

(√a) ^ (2b) = ((√a)^2)^b = a^b

Más megközelítésben:

Tegyük fel, hogy adva van b, x és y, és az egyszerűség kedvéért ezek legyenek pozitívak. Ekkor

a^x = b^y

Emeljük mindegyiket az 1/x hatványra

(a^x)^(1/x) = (b^y)^(1/x)

a^(x*1/x) = b^(y*1/x)

a = b^(y/x)

Máris találtunk egy a-t. Hogy ez egész-e, az persze még ellenőrizendő. Innen már gondold tovább magad. :-)

Igen.

Pl. ha a=b és x=y, már akkor végtelen sok lehetőség van.

Még két egyszerűbb, példa, immár racionális, sőt véges tizedes törtként felírható számokkal:

0,25 ^ 0,3 = 0,5 ^ 0,6

1,728 ^ 2,7 = 1,2 ^ 8,1