Valaki segítene ezt megoldani? és levezetni?

Mikor lesz egy ajtó nyitva? Ha páratlan számú alkalommal fordítanak a kulcson.

Nézzük mi a helyzet a prímszámokkal. Pl. a 7. ajtón kétszer fog kulcsfordítás történni, akkor, amikor az 1. őr jön, és amikor a 7. őr jön (ő ugye minden 7. ajtón fordít kulcsot). Tehát a 7. ajtón kétszer lesz kulcs fordítva, mert a 7-nek két osztója van (1 és önmaga).

Mi a helyzet, ha mondjuk az ajtó sorszáma két prím szorzata? Mondjuk a 15. ajtó. A 15-nek a következők az osztói: 1, 3, 5, 15. Ezeken az ajtókon is páros számú alkalommal történik kulcsfordítás, ergo a végén zárva maradnak.

Mi a helyzet, ha egy ajtó sorszáma három prím szorzata. Mondjuk a 30. ajtó esetén? 30 osztói:

1 - ()

2 - (2)

3 - (3)

5 - (5)

6 - (2*3)

10 - (2*5)

15 - (3*5)

30 - (2*3*5)

Itt is páros számú kulcsfordítás történik.

Mi is történik ebben a fenti esetekben? Ha egy szám osztható x-el, és az eredmény y, akkor osztható y-al is (ekkor x lesz az eredmény). Pl. a 12 osztható 3-al, az eredmény 4, ergo osztható 4-el is, ekkor az eredmény 3 lesz. Osztható 1-el is, az eredmény 12, ergo osztható 12-vel is, az eredmény ekkor 1. Illetve osztható 2-vel, az eredmény 6, tehát osztható 6-al is, az eredmény 2 lesz. Tehát minden osztónak van egy párja is, így ezért páros lesz a kulcsfordítások száma, ergo az ajtó zárva marad.

Mikor lesz tehát páratlan a kulcsfordítások – azaz az adott sorszám osztóinak száma – páratlan? Pontosan akkor, ha az egyik osztónak önmaga a párja. Pl. a 4. ajtó esetén osztható 2-vel, és ekkor 2 lesz az eredmény. Hoppá. Viszont a 2-es őr csak egyszer megy végig, így a 2-es őr kulcsfordításának nem lesz meg a párja. A 4 osztható 1-el, 2-vel, meg 4-el.

Ergo a négyzetszámokkal jelölt ajtók esetén lesz páratlan számú kulcsfordítás, ergo ezek az ajtók maradnak a végén nyitva.

Ezt és ehhez hasonló feladatokat találsz:

Logikai sziporkák · Jean-Claude Bailif könyvben.