Hogy tudom bebizonyítani ezt a feltevést? Gyorsan pls.

Legyen két ilyen pont (i,j) és (m,n). Legyen gyök(2)=z a könnyebb írás kedvéért.

Ekkor r^2=(i-z)^2+(j-1/3)^2=(m-z)^2+(n-1/3)^2. A műveleteket elvégezve és rendezve:

(i-m)*(i+m-4*z)=(n-j)*(n+j+4/3).

Ez a szorzat akkor egyenlő, ha az egyik tényezője nulla. Ha ugyanis az nem teljesülne, akkor az egyenlet egyik oldalán egy irracionális szám állna, a másikon pedig egy racionális, amelyek nem lehetnek egyenlők. A tényezők viszont csak úgy lehetnek nullák, ha i=m és n=j, azaz nincs két ilyen pont. Q.e.d.

Régi szép idők... nosztalgiaízű feladat.

2000-es közgázos felvételi feladat volt, igaz, ott gyök(5) volt gyök(2) helyett.

A bizonyítás logikája a következő: megmutatjuk, hogy egynél több ilyen tulajdonságú pont nem létezhet, ennek érdekében feltételezzük, hogy létezik 2 ilyen. Tudjuk, hogy a kör minden pontja azonos távolságra van a középponttól, tehát egymástól is. Felírva a 2 pontra vonatkozó távolságokat egy olyan egyenletet kapunk, ahol az egyik oldal általában irracionális a másik oldal pedig racionális, tehát nem lehetnek egyenlőek. Az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha a két pont megegyezik, tehát ellentmondásra jutottunk azzal, hogy létezik legalább 2 ilyen pont.

AZ ilyenfajta bizonyítások egyébként meglehetősen gyakoriak, ha belegondolsz gyakorlatilag csak néhány definíciót kell használni hozzá.