Hogyan tudnám ezt bebizonyítani? (matek/geometria)

Bocsi nem nagyon van időm, de leírom gyorsan:

Tehát adott:

a² ∙ (b + c – a) + b² ∙ (a + c – b) + c² ∙ (a + b – c) ≤ 3 ∙ a ∙ b ∙ c

Elkezdem átalakítgatni:

a(-a²+b²+c²) + b(-b²+a²+c²) + c(-c²+a²+b²) ≤ 3 ∙ a ∙ b ∙ c

A cosinus tételt felhasználva:

a² = b² + c²-2bc∙cos(alfa) -- > ez értelem szerűen teljesül a többi négyzet tagra is csak a betűk változnak illet cos(beta) lesz b esetében és cos(gamma) lesz c esetében.

a(2bc∙cos(alfa)) + b(2ac∙cos(beta)) + c(2ba∙cos(gamma)) ≤ 3 ∙ a ∙ b ∙ c

Itt örülünk mert végre eljuttounk oda amit szerettünk volan elérni:

Egyszerűsíthetünk a ∙ b ∙ c - vel, és bal oldalon kiemeljük a 2est.

2( (cos(alfa)+cos(beta)+cos(gamma) ) ≤ 3

cos(alfa)+cos(beta)+cos(gamma) ≤ 1,5

Ugye tudjuk, hogy bármely háromszög belső szögeinek összege 180fok.

Ezt azt jelenti hogy ha beírunk tetszőleges szögeket alfa, beta, gamma helyére, úgy hogy a 3 összege pontosan 180 fok legyen(különben definíció szerint nem háromszög), akkor ezekből a szögértékekből számított cosinus értékeknek kisebb vagy legfeljebb egyenlőnek kell lennie 1,5-el.

Akkor most ezt szeretnénk bizonyítani:

Képzünk a bal oldalból ((cos(alfa)+cos(beta)+cos(gamma)) egy függvényt amit meg fogunk vizsgálni:

f[a,b] = cosa+cosb+cos(180-a-b)). Itt két ismeretlennel fejezem ki az amúgy három ismeretlent. Egyébként a függvény maximumát keressük, vagyis pozitív szélső értékét.

Lederiváljuk a függvényt a-ra majd b-re:

f'a = -sina+sin(180-a-b)

f'b = -sinb+sin(180-a-b)

Ebből kapunk egy egyenletrendszert ami két ismeretlenes. Megnézzük hogy hol adnak 0-t egyszerre visszatérési értékként, ezt pedig 60 behelyettesítésével adják. Átrendezve kijön hogy a=b tehát mindkettő 60.

Sajnos itt még nincs vége, elvégezzük a másodrendű deriválást:

a-t ismét lederiváljuk a szerint, b-t b szerint de a-t lederiváljuk b szerint is.

f''aa = -cosa+cos(180-a-b) = 0

f''ab = +cos(180-a-b) = cos60

f''bb = -cosa+cos(180-a-b) = 0

Behelyettesítünk aa és bb-be mindkettő 0-t fog visszaadni, de ab 60at fog. És ez a lényeg.

Végzünk egy determináns számítást(D).

D=f"aa∙f"bb-(f"ab)²>0 ami igaz mert cos60 az 0,5, szóval 0,75^2. D pozitív értéket ad tehát van pozitív szélső értékünk ami pedig nem más mint 60.

Ennél az értéknél éri el a függvény a maximumot, ezt akartuk bizonyítani a második körben. Mivel a=b és 180-a-b = 60 ezért c is 60.

Tehát 1,5 akkor jön ki ha mind a 3 szögem pontosan 60. Ekkor van a legnagyobb értékű "szögegyetüttállásom". cos60 = 0,5, 3∙0,5 = 1,5. Bármilyen más értékeket írsz a szögek helyére kisebb értéket kapsz mint 1,5. Mivel megengedtük az egyenlőséget és a kisebb feltételt is, ezét teljesül minden lényegében.

q.e.d.