Egy háromjegyű tízes számrendszerbeli számra igaz, hogy ötszöröse a számjegyei szorzatának. Mennyi a szám számjegyeinek összege? 13 15 17 19 SŰRGŐS LENNE.

Mivel 5-szöröse, ezért a 3-jegyű szám biztos, hogy 0-ra vagy 5-re végződik. 0-ra nem lenne szerencsés, ha végződne, mert akkor ...*0=0 lenne a szorzat, így marad az 5. A legnagyobb ilyen szám a 995, a legkisebb a 105. Legyen a két ismeretlen számjegy x és y, ekkor igaz az, hogy 995≥5*(5*x*y)≥105, vagyis 39,8≥x*y≥4,2, de mivel x és y egész, ezért 39≥x*y≥4. Az biztos, hogy x és y páratlanok, mert ha valamelyik páros lenne, akkor a szorzat 5-tel osztható páros szám lenne, vagyis 0-ra végződne.

A kikötéseknek megfelelő szorzatok:

1*5, 1*7, 1*9

3*3, 3*5, 3*7, 3*9

5*5, 5*7

Ezzel a lehetőségek körét sikerült leszűkítenünk 9-re. Mivel ez nem számít soknak, ezért ezeket el is végezhetjük; zárójelbe írom, hogy milyen számoknak kell szerepelnie a szorzatban:

5*(5*1*5)=125, nem jó.

5*(5*1*7)=175, tökéletes! Ezeknek az összege 13. Csináljuk tovább, hátha találunk másikat is:

5*(5*1*9)=225, nem jó.

5*(5*3*3)=225, nem jó.

5*(5*3*5)=375, nem jó.

5*(5*3*7)=525, nem jó.

5*(5*3*9)=675, nem jó.

5*(5*5*5)=625, nem jó.

5*(5*5*7)=875, nem jó.

Tehát a keresett szám a 175, számjegyeinek összege 13, tehát a megoldás: 13.

Tehát azt tudjuk, hogy

100a+10b+c=5*a*b*c

Mivel a, b, c egész számok 0-9 között, és az abc szám osztható öttel, c=0 vagy c=5. Mivel a nulla nyilván hülyeség (illetve ebben az esetben a 000 számot háromjegyűnek kéne tekinteni), ezért c=5. Osztunk 5-tel.

20a+2b+1=5*a*b

A 20a+2b+1 szám szintén ostható 5-tel. 20a biztosan osztható, így csak a 2b+1 ötös maradékát kell megvizsgálnunk. Innen b=2 vagy b=7.

1) eset, b=2

20a+5=10a

a=-1/2, ami nyilván lehetetlen

2) eset b=7

20a+15=35a

a=1

Tehát a szám 175 (ami 5*1*7*5=5*35) Számjegyeinek összege pedig 13.