Hogyan határozzuk meg a függvény képét ebben az esetben f: R->R, f (x) = (x^2-3x+2) / (x^2+x+1)?

A magyarázathoz tudni kellene, hogy mit tudsz matematikából? ( Hanyadikos vagy? Hol tanulsz? )

[link]

Na igen, nagyon nem mindegy, hogy mit tudsz analízisből. De néhány tulajdonsága elemi módszerekkel is megállapítható.

1. Mivel x^2+x+1>0 (a főegyüttható pozitív, és D<0), ezért van y tengelymetszete, jelesül f(0)=2/1=2

2. Zérushelye is van, mert van olyan xeD(f), melyre f(x)=0. Lévén ez egy tört, ezért ez akkor teljesül, ha x^2-3x+2=0, azaz ha x=1 vagy x=2

3. A függvényértékekről annyi mondható a fentiek alapján, hogy f(x)<0, ha xe]1;2[, egyébként f(x)>0 (és van két zérushely)

4. Némi átalakítással valami mondható a végtelenekben vett határértékekről is, x^2-3x+2=x^2+x+1-4x+1=(x^2+x+1)-(4x-1), ezt leosztva a nevezővel 1-(4x-1)/(x^2+x+1) adódik; ezért mindkét határérték 1 lesz (igaz, más-más oldalról közelíti meg ezt)

5. Ezek után x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4. Ennek minimuma akkor van, ha x=-1/2, ekkor értéke 3/4. Ez egyenlő az átalakított függvény nevezőjének legkisebb értékével, tehát feltételezhető akár (persze ez elég pongyola módszer), hogy az átalakított tört ekkor maximális (és negatív értéket vesz, azaz az 1-hez hozzáadjuk). Kiszámítva f(-1/2)=5

6. Ugyanígy például x=3/2 esetén f(3/2)=-1/19

Mindebből már majdnem olyan grafikon rajzolható jellegében, mint amit a 95%-os válaszoló készített (az a pontos)