Z= (-1+i√3) ^20? Hogyan oldjam meg a komplex számos feladatokat?

Kedves kérdező, elég nagy bajban vagy, ha holnap vizsgázol, és azt gondolod, hogy itt i-t kell kiszámolni.

i a képzetes egység, azaz egy olyan "szám", amelyre i^2=-1 teljesül. A feladatban szereplő z komplex számot kell egyszerűbb alakban (vagyis valamilyen x+yi formában) felírni.

Azt javaslom, hogy mielőtt ezzel próbálkoznál, valahonnan nézz utána a komplex számokkal kapcsolatos alapismereteknek. Ehhez a feladathoz azt kell tudni, hogy egy komplex számot hogyan írhatunk át trigonometrikus alakba, és a trigonometrikus alakban hogyan végezhetjük el a hatványozás műveletét. A magasabb kitevőjű hatványokat ugyanis trigonometrikus alakban lehet könnyen kiszámolni. Amíg mindezt nem érted, ne is olvasd tovább a megoldást.

-1+gyök3*i hossza 2, a hozzá tartozó szög 120 fokos. Így a trigonometrikus alakja:

2(cos120+i*sin120).

A hatványozást úgy végezzük el, hogy a hosszat hatványozzuk, a szöget pedig megszorozzuk a kitevővel. Tehát

z=2^20*(cos2400+i*sin2400).

Mivel 2400=6*360+240, ezért a 360 fok megfelelő számszorosát kivonhatjuk a szereplő szögből, és

z=2^20*(cos240+i*sin240).

Itt cos240=-1/2, sin240=-gyök3/2,

tehát

z=2^20(-1/2-i*gyök3/2), azaz

z=-2^19(1+i*gyök3).