Hogyan oldhatom meg ezeket a feladatokat, komplex számokkal? 1. (1+i) ^20+i^43= 2. ( (2-3i) / (1+i) ) ^2= 3.3gyök (8i) =

Ha jól értem, ez a három feladat:

(1+i)^20 + i^43 =

( (2-3i) / (1+i) )^2=

3*gyök(8i) =

Vagy az utolsó az köbgyök?

az ilyen típusú felaatokhoz a komplex számok exponenciális alakját /a+b*i=r*e^(i*alfa)/ érdemes használni.

1) felírod az (1+i)-t exp. alakban. ehhez rajzolsz egy koordináta-rendszert, melynek a vízszintes tengelye a valós, függ. tengelye a komplex tengely lesz. ebben az 1+i egy olyan vektor, melynek a hossza 1, iránya pedig: pi/4-et zár be a Re tengellyel. így

i+1=1*e^(i*pi/4). szorzat hatványozásával ez

1^20*e^(i*20*pi/4)=1*e^(i*5*pi).

ha most ezt felrajzolod, újra egységniy hosszúságú lesz,és az Re tengely negatív irányába mutat, vagyis alfa= pi. ezt visszaírva algebrai alakba -i lesz.

a másik tag: i=1*e^(i*pi/2)

i^47=1^47*e^(i*47*pi/2)=1*e^(i*23,5*pi)=1*e^(i*22*pi+i*1,5*pi)=1*e^(i*1,5*pi)

ez utóbbit felrajzolva a vektor a negatív Im tengely felé mutat, hossza egy. ez ugye a -i alg. alakban.

a végső összeg tehát -2*i