Legyen az ABCD négyzet AB oldalán az A-hoz közelebbi harmadolópont F, az AD oldalán a D-hez közelebbi harmadolópont E, a CD oldalán a C-hez közelebbi hatodolópont pedig G. Milyen arányban osztják egymást az EFBG négyszög átlói?

Koordinátageometriai megoldás.

Legyen A a koordináta-rendszer kezdőpontja, és a két koordintátengely illeszkedjék a négyzet két A-ban találkozó élére, hogy könnyű legyen a harmadoló és a hatodoló pontok koordinátáit felírni, a következőképp: A(0,0); B(6,0); C(6,6); D(0,6), ekkor E(0,2); F(2,0); G(5,6). Az osztópont EB és FG szakaszok metszéspontja.

EB egyenes egyenlete: x + 3y = 6

FG egyenes egyenlete: 2x - y = 4

A metszéspont: (18/7,8/7).

EB szakasz merőleges vetülete az abszcissza-tengelyre a AB szakasz, a párhuzamos szelők tétele szerint az osztópont merőleges vetülete úgy osztja a szakasz merőleges vetületét, ahogy az osztópont a szakaszt. Az osztópont vetülete (18/7,0), ez 18:24 arányban osztja AB-t, tehát EB-t így osztja a másik átló.

Hasonlóan, az osztópont merőleges vetülete az ordinátatengelyre úgy osztja AD-t, ahogy sajátmaga osztja FG-t, láthatóan 8:34 arányban, amivel be is fejeztük a választ.

Sajnos itt nem nagyon gondolkodtam. Szintetikus megoldást keresni nem volt hangulatom.

Öt éve várok egy szép megoldásra:

[link]