Hogyan bizonyítsam be azt hogyha egy kétjegyű szám számjegyeinek összege osztható hárommal akkor a szám is osztható 3-mal?

"csinald meg ezt a muveletet"

Ez nem bizonyítás. :-D Bár lehet úgy okoskodni, hogyha egy számra belátjuk, hogy osztható 3-mal, majd hozzáadunk 3-at, akkor a szám is osztható lesz hárommal, majd az így kapott szám számjegyeinek összege is osztható lesz 3-mal.

Ehhez azt kell megérteni, hogy egy kétjegyű (vagy akárhányjegyű) számban mit jelentenek a számjegyek. A hátulról első számjegy az az 1-esek száma, a 2. a 10-esek, aztán 100-asok, stb... Tehát az hogy 7029 az nem más, mint 7*1000+0*100+2*10+9*1.

Másik dolog, amit tudni, kell, az a maradékos osztás egyik alapvető tulajdonsága. Tegyük fel, hogy van egy hosszú kifejezésed, amiben csak egész számok vannak, és összeadás, kivonás, szorzás, meg esetleg zárójelek. Ezt kellene neked elosztanod valamivel, mondjuk 3-mal, de te csak a maradékra vagy kíváncsi. (Pl. ha azt kell eldönteni, hogy a szám osztható-e 3-mal, akkor valójában azt kell eldönteni, hogy a maradék 0-e vagy sem.) Ekkor jogod van bármelyik számot a kifejezésben megváltoztatni úgy, hogy hozzáadsz vagy kivonsz belőle egy 3-mal osztható számot.

Pl. 10*20-t akarod maradékosan osztani mondjuk 7-tel. 10-ből kivonhatsz 7-et, marad 3, 20-ból kivonsz 2*7-et, marad 6, 10*20-ból marad 3*6=18, annak a 7-es maradéka 4. Lám, a 10*20=200-nak is 4 a 7-es maradéka.

Ezek ismeretében pedig hogy jön a 3-as oszthatósági szabály? Egy szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek az összege osztható 3-mal. Bizonyítás: pl. a szám nem más, mint a*1+b*10+c*100+d*1000+..., plusz még ahány számjegye van. A számjegyek a, b, c. Ezt kell osztanod 3-mal. Az 1, 10, 100, 1000, ... számokat jogod van egy 3-mal osztható számmal megváltoztatni. Mennyi legyen ez? Az 1-et békén hagyod, a 10-ből kivonsz 9-et, a 100-ból 99-et, az 1000-ből 999-et, ezek mind oszthatók 3-mal (3*3333..33=9999...99), és végül mindegyik számból 1-lesz.

Tehát az eredeti számból, azaz az a*1+b*10+c*100+d*1000+... számból helyes átalakításokkal megkaptad az a+b+c+d+... számot... Vagyis az első ugyanakkor osztható 3-mal, mint a második, tehát a tételt beláttuk.

SPOILER ALERT: az összes oszthatósági szabályt ugyanígy bizonyítjuk, csak máshogy változtatjuk meg az 1, 10, 100, 1000 számokat. Pl. egy szám akkor és csak akkor osztható 9-cel is, ha a számjegyeinek az összege osztható 9-cel. Ekkor ugyanúgy 9, 99, 999, ...-t kell kivonni.

SPOILER ALERT 2: ezzel a tudással fejszámolni is könnyebb.