Hány szeletre vágja fel a nagymama a süteményt?

Tegyük fel, hogy a nagymama x*y részre vágja a süteményt. Ebben az esetben a puha sütik száma (x-2)(y-2). Ennek a felének kell lennie a teljes süteménynek (xy), így adódik az egyenlet:

x,y ∈ ℕ (magyarra fordítva x és y természetes szám)

x,y > 2

2[(x-2)(y-2)]=xy

Fejtsük ki a bal oldali kapcsos zárójelben található szorzatot:

2[xy-2x-2y+4]=xy

Fejtsük ki a bal oldalt:

2xy-4x-4y+8=xy

Csoportosítsuk az x-es tagokat balra, az x nélküli tagokat jobbra, azaz mindkét oldalból vonjunk ki xy-t, és adjunk hozzá 4y-8-at:

xy-4x=4y-8

Emeljük ki bal oldalon az x-et:

x(y-4)=4y-8

Kis trükk: emeljük ki jobb oldalon az (y-4) kifejezést:

x(y-4)=(4y-16)+8

x(y-4)=4(y-4)+8

Nézzük meg, mi van, ha (y-4)=0:

x*0=4*0+8

0=8

Ebből következik, hogy (y-4)≠0, azaz oszthatunk (y-4)-el:

x(y-4)=4(y-4)+8

x=4 + 8/(y-4)

Mivel x egész szám, ezért a 8/(y-4)-nek is egésznek kell lennie, ami miatt 8-nak maradék nélkül oszthatónak kell lennie (y-4)-el, valamint mivel y természetes szám, ezért (y-4) egész szám. 8-nak a következők az egész osztói: 1,2,4,8. Ezt a 4 esetet vehetjük tehát figyelembe:

I. (y-4) = 1

Ebben az esetben y=5, x-et visszahelyettesítve kapjuk: x=4+8/(y-4)=4+8/1=4+8=12

II. (y-4) = 2

Ebben az esetben y=6, x-et visszahelyettesítve kapjuk: x=4+8/(y-4)=4+8/2=4+4=8

III. (y-4) = 4

Ebben az esetben y=8, x-et visszahelyettesítve kapjuk: x=4+8/(y-4)=4+8/4=4+2=6

IV. (y-4) = 8

Ebben az esetben y=12, x-et visszahelyettesítve kapjuk: x=4+8/(y-4)=4+8/8=4+1=5

Az x=8, y=6 eset azonos x=6, y=8 esettel, mindkét esetben 6*8 részre kell osztani a süteményt.

Az x=12, y=5 eset azonos az x=6, y=12 esettel, mindkét esetben 5*12 részre kell osztani a süteményt.

Mivel a vágások száma eggyel kisebb, mint a kapott sorok vagy oszlopok száma, ezért a nagymamának:

vagy 5 és 7 vágást kell ejtenie,

vagy 4 és 11 vágást.

------------

Ellenőrzés:

A külső sütik nagyjából megfelelnek a kerületnek. Csakhogy a sarkokat így kétszer számoljuk, így a kerületből ezt le kell vonni. A külső sütik száma tehát: 2x+2y-4

A belső sütik száma: (x-2)(y-2)

A 6;8 esetben:

A ropogós sütik száma: 2x+2y-4 = 2*6 + 2*8 -4 = 12+16-4 = 24

A puha sütik száma: (x-2)(y-2) = (6-2)(8-2) = 4*6 = 24

A 5;12 esetben:

A ropogós sütik száma: 2x+2y-4 = 2*5 + 2*12 -4 = 10+24-4 = 30

A puha sütik száma: (x-2)(y-2) = (5-2)(12-2) = 3*10 = 30

Szerintem meg 4 vágás elég, hogy a feladat kérdését kielégítsük. Az ugyanannyi sütemény ugyanakkora tömeget jelent, tehát a nagymamának elég egy téglatest alakú sütitömböt kiemelnie középről ahhoz, hogy elfelezzük a sütit. Oszt majd a kölkök felvágják maguknak ahogy akarják.

[link]

#2: A megoldásod pusztán logikai szempontból – hála a feladat nem egészen korrekt megfogalmazásának – ugyan helyes, de számos problémát vet fel és számos más megoldási lehetőséget rejt magában.

I. Ugye a kérdés, hogy hány függőleges és hány vízszintes vágás kell. Akár ki lehet vágni a belső részt úgy is, hogy egyetlen vízszintes vagy függőleges vágást sem ejtünk, tehát ugyanúgy vágjuk ki mint te, de cikk-cakkos vágásokkal.

II. Viszont a vágás szó a te esetedben ugye azt jelenti, hogy egyetlen vágás nem kell, hogy kettéosszon bármit is. Így a I. megoldásom után aztán akárhány függőleges és vízszintes bevágást lehet még ejteni.

I+II-ből adódik, hogy bármilyen megoldás helyes lehetne.

III. Ugye kérdés, hogy az igekötő nélküli vágás szót nem a megvág, bevág, hanem a kettévág, szétvág értelemben használjuk. Ebben az esetben is lehet olyan megoldást találni, ahol nem kell egyetlen függőleges és vízszintes vágást sem ejteni, mert átlós vágásokkal daraboljuk fel a süteményt.

Tegyük fel, hogy csak és kizárólag vízszintes és függőleges vágásokat használhat a nagymama, kizárólag a tepsi szélétől széléig tartó szakasz formájában. Ebben az esetben jön a kérdés, hogy az ugyanannyi egészen pontosan mit jelent.

IV. Ha az ugyanannyi a tömegre vonatkozik, akkor a megoldás megint triviális, hiszen 4 vágás elegendő, hogy megkapjuk a belső süteménydarabodat, miközben keletkezik 8 külső süteménydarab, azonos tömeggel.

V. Ha az ugyanannyi a darabszámra vonatkozik, akkor megint jön a IV. megoldás, majd a belső süteménydarabot aztán 8 darabja vágja.

VI. Aztán arról már ne is ejtsünk szót, hogy eleve nem volt feltétel az, hogy a tepsi téglalap alapú lenne, és a sütemény egyenletes vastagságú lenne.

Ezekkel a megoldásokkal a következő a gond:

A legfőbb probléma, hogy nem reprezentál semmiféle matematikai tudást, pedig gondolom itt ez lenne a cél. A tanár lehet, hogy értékelné a kreativitást a megoldásban, de biztos, hogy rákérdezne arra a megoldásra, amit #1-nél leírtam.

A másik probléma teljesen gyakorlatias. Egyetlen épeszű nagymama nem használná a fenti megoldásokat. A nagymamák már csak olyanok, hogy téglalap alapú tepsiben sütnek, törekednek arra, hogy a sütemény ugyanolyan vastag legyen mindenhol, aztán a felvágásnál is vízszintes és függőleges teljes vágásokkal darabolják fel a süteményt, lehetőleg egyforma alakú és méretű darabokra.

Persze még mindig adódik a lehetőség, hogy mondjuk 8x8-as méretre vágja a sütit, és amelyikből több van, azt megeszi, vagy odaadja apukának, anyukának, esetleg ha nem túl gyakorlott háziasszony, akkor a kutyának. :-)

2xSü, nem beléd kötésből írtam a saját válaszomat, hanem mert a matektanárok mindig cikizik az embert, hogy precíznek kell lenni. Látod, én precíz is vagyok. Nem mellesleg lehetséges, hogy ez egy ún. beugratós feladat, és bár a megoldásod tökéletes és általános, de jelenleg simán át lehet vágni a gordiuszi csomót az én megoldásommal.

(Egyébként mindenki másnak: ilyen az, amikor két Mensa tag oltogatja egymást, amennyiben információim helyesek 2xSü-vel kapcsolatban. ;) )

#8: A belém kötést köszönöm, mert jó alakalom arra, hogy kivesézzük a feladatot és furcsa, szokatlan, vagy akár vicces alternatív megoldásokat is találjunk. De amúgy igazad van, a te megoldásodat abból a szempontból lenne jó bemutatni egy matekórán, hogy a tanár lássa, hogy amit megkövetel a tanulókon – a precíz, egzakt megfogalmazást –, azt maga sem tartja be, illetve nem követeli meg a tankönyvtől, ha a feladat onnan származik.

(Amúgy kétlem, hogy beugratós feladat lenne.)

Mondjuk az is érdekes kérdés, hogy hogyan lehet egzaktul megfogalmazni egy ilyen feladatott. Számos olyan dolog van, amit megfogalmazás nélkül is alapul veszünk, pedig elméleti szinten bele lehetne kötni. Pl. a feladat leírásában nem szerepel, hogy a nagymama egy három dimenziós süteményt sütött, valamint nincs az a kitétel sem, hogy tekintsünk el attól a ténytől, hogy a világnak a Riemann geometria segítségével történő leírása a megfelelőbb, de a megoldást az euklideszi geometria axiómáinak érvényessége esetére vezessük le.