3 _ 3-x = 1 2x+2 x+1 3 - 3-x = 1 2 (x+1) x+1 3-2 (3-x) =2 (x+1) 3-6+2x=2x+2 -3+2x=2x+2 -3=2 Az egyenlet jó, de miért kellet kiemelni és a második törtet miért 2-vel kell szorozni? Nem értem

Az egyenletnek nincs valós gyöke, mert ellentmondásra fut.

Az egyenlet, ami ellentmondásra futott:

[3/[2(x-1)] - [(3-x)/(x-1)] =1

Kicsit kiegészítem az előzőt, mert nem sok értelmét látom annak, hogy valaki bedob egy megfejtést, de nem írja le, hogy hogyan kapta.

3/[2(x-1)] - [(3-x)/(x-1)] =1 Ezt a felírást úgy kell érteni, hogy ami a per előtt van, az van felül, számlálóban, utána pedig a nevező. Azaz pl X/Y, ahogy írod: felül az X, törtjel, alul az Y.

Azt rögtön ki kell kötni az elején, hogy x-1 nem egyenlő 0-val (azaz x-1 =/= 0), mivel a nevező olyan mint az osztás, és osztani nem lehet 0-val. Éppen ezért X =/= 1, vagyis ha az jönne ki, hogy X = 1, akkor ellentmondásra jutunk.

Az egyik alapkérdés, hogy miért kell a második törtet 2-vel szorozni.

Egy pillanatra felejtsük el, hogy mi az eredeti feladat, és vegyük azt, hogy össze akarjuk adni a háromkettedet az egynegyeddel (azaz matematikául leírva: 3/2 + 1/4 = ?).

Mivel törteket csak úgy tudok összeadni (és kivonni is), ha a nevezőjük ugyanaz, ezért vagy a kettedből kell negyedet csinálni, vagy a negyedből kettedet. Az elsőt tesszük, vagyis a 3/2 –et kifejezzük negyedekben, azaz megszorozzuk a számlálót és a nevezőt is kettővel. 3/2 = 6/4. Ez így világos? Vagyis 3/2 + 1/4 = 6/4 + 1/4 = 7/4

FIGYELEM! Ez nem szorzás, hanem bővítés. Szorzás az lenne, ha csak a számlálót szoroznánk. A bővítés során a tört értéke nem változik, azaz 1 = 2/2 = 4/4 = 10/10 stb. Ugyanígy: 3/2 = 6/4 = 12/8 stb.

Térjünk vissza az eredeti feladatra. Itt két törtet akarunk kivonni, az egyiknek a nevezője: 2(x-1), a másiké pedig (x-1). Ahhoz, hogy ezek egyenlőek legyenek, és tudjunk velük összeadást-kivonást végezni, az (x-1)-et meg kell szorozni 2-vel, így kapunk 2(x-1)-et, de mivel ez bővítés, a tört számlálóját is meg kell szorozni 2-vel. Vagyis első lépésként a második törtet kibővítjük 2-vel, azaz alul is és felül is 2-veé szorzunk:

(3-x)/(x-1) = 2(3-x)/[2(x-1)] >>>> A szögletes zárójelet csak azért használom, hogy a törtjel ne zavaron meg, de el is hagyhatnám, azaz írhatnám ezt: 2(3-x)/2(x-1)

Namost már a két nevező ugyanaz, így használhatok egy nagy közös törtjelet, ahol alulra írom a 2(x-1) –et, felül meg lesz a kivonás. Íme, az átalakított egyenlet, azaz eddig semmi mást nem tettünk, mint hogy kibővítettük a második tagot, és ezzel közös nevezőre hoztuk a törtet:

3-2(3-x)/[2(x-1)] = 1 >>> felszorzunk 2(x-1)-gyel

3-2(3-x) = 2(x-1) >>> felbontjuk a zárójeleket:

3 - 6 + 2x = 2x – 1 >>> elvégezzük az összeadásokat

2x – 3 = 2x – 1, azaz

-3 = -1 >>> ez nem igaz, a mínusz három nem egyenlő a mínusz eggyel, így az egyenlet ellentmondásra vezetett. A megoldás az, hogy az egyenletnek nincs valós gyöke.

Azért nem írtam le a megoldás menetét, mert először ellenőrizni akartam azt, hogy valóban jó egyenlet volt-e, ezért kérdeztem meg, hogy miről is van szó, egyáltalán az-e az egyenlet, amit megadtam. (Mivel gyanús volt, hogy ellentmondásra visz, így előfordulhat, hogy elírás volt benne, vagy én értettem félre valamit.)

De köszönöm amit leírtál, mert valóban ez a megoldás gondolatmenete.

Egy kiegészítés:

"A szögletes zárójelet csak azért használom, hogy a törtjel ne zavaron meg, de el is hagyhatnám, azaz írhatnám ezt: 2(3-x)/2(x-1) "

Nem hagyhatnád el a szögletes zárójelet, mert a

2(3-x)/[2(x-1)] =/= 2(3-x)/2(x-1)

ugyanis a szorzás és az osztás egyenrangú, így ha nem zárójelezel, akkor FOLYAMATOSAN kell végigvinni. Azaz a kettőt szorzod 3-x-szel, majd az eredményét osztod kettővel ÉS VÉGÜL az egész eredményét szorzod x-1-gyel, vagyis az x-1 nem nevezőbe kerül, hanem felugrik számlálóba, ha nincs kinn a kapcsos zárójel!

Bár szeretik azt mondani, hogy ha nincs műveleti jel a zárójel és a szám között pl: 2(x-1), akkor a zárójel összetartozik a számmal, de ez nem igaz.

Tegyük ki azt a kapcsos zárójelet, mert a szorzás az a nevezőre és nem a számlálóra vonatkozik!

Amúgy szépen levezetted a megoldást, köszönöm.