Lehet értelmezni a negatív számok logaritmusát? és ha igen, akkor hogyan?

Hányadik hatványra kell emelni a 2-t, hogy 8-t kapjunk?

- Harmadik hatványra.

Az elsõ kérdés a hatvány értékére vonatkozik. Válaszolni rá a hatványozás definíciója segítségével tudunk: kettõ a harmadikon egyenlõ nyolccal.

A második kérdés a hatvány alapjára vonatkozik. Megválaszolásához megfelelõ kitevõjû gyököt kell vonnunk az adott számból: harmadik gyök nyolc egyenlõ kettõvel.

A harmadik kérdésre sem nehéz kitalálni a választ. Itt a kitevõ felõl érdeklõdünk. Amikor erre a kérdésre válaszolunk, azt mondjuk: a nyolc kettes alapú logaritmusa három. Jelekkel pedig azt írjuk, hogy

log28 = 3.

Azaz log28 (2-es alapú logaritmus 8) azt a kitevõt adja meg, amire 2-t emelve 8-t kapunk:

2log28 = 8.

A log28 kifejezésben a 2-t a logaritmus alapszámának (alapjának) nevezzük.

Tegyük fel a kérdést: milyen számokat írhatnánk még az elõzõ példában a 2 és a 8 helyére?

Például tudunk-e választ adni a harmadik kérdésre, ha nem 2, hanem (-2) szerepel benne? Azaz mennyivel egyenlõ log-28? Vajon hányadik hatványra kell emelni (-2)-t, hogy 8-t kapjunk?

Be kell látni, erre a kérdésre nem tudunk válaszolni. Ezért a negatív számokat kizárjuk a logaritmus alapszámai közül. Mivel a 0 hatványai mind 0-k, rá is hasonló sors vár. A negatív számokat és a 0-t ezzel kizártuk a lehetõségek közül. A pozitív számok között az 1 minden hatványa 1. Ez sem "jó", így tõle is megszabadulunk: logaritmus alapszáma 1 sem lehet. Viszont pozitív számoknak valós kitevõkkel csak pozitív hatványai vannak, tehát logab kifejezésben b sem lehet más, csak pozitív. Ezért a következõ definíciót fogalmazzuk meg:

Def. A logab (a alapú logaritmus b, ahol a>0 de nem 1 és b>0) jelenti azt a kitevõt, amire a-t emelve b-t kapunk.

Nagyon fontos, hogy a kikötéseket betartsuk: ugyanúgy, mint amikor a törteknél kizártuk a 0 nevezõjûeket, itt is be kell tartanunk a szabályokat. A logaritmus alapja csak 1-gyel nem egyenlõ pozitív szám lehet, a másik szám pedig csak pozitív lehet.

az i^2 egyenlő a -1-el.

a logaritmust én mindig keverem, de ha jól sejtem akkor komplex számokkal se nagyon tudsz mit kezdeni.

2es alapú logaritmus -1 esetén azt a számot kell megkeresni, hogy 2 a hanyadikon lenne -1. de ahogy levezették előttem, 2^0 is pozitív, 2^.5 is pozitív, 2^-10 is pozitív. Az egyetlen esélyed 2^i lenne, de az i az csak egy komplex szám, aminek az egyetlen trükkje, hogy ha négyzetre emeled, akkor -1 lesz. De 2^i az 2^i, ennyi.

i alapú logaritmus -1 viszont 2 lenne, ha értelmeznénk ilyet.

persze, a komplex számok mintájára kitalálhatnál egy olyan szintén képzeletbeli számot, ami olyan tulajdonságú, hogy 2-es alapú log -1 = u (u mint useless :D). De szerintem ennek sok haszna nem volna. Bár ki tudja, lehet van, aki foglalkozik ilyesmivel.

Itt írnak a komplex számok logaritmusáról:

[link]

Igen. Sőt, ki is tudjuk számítani a pontos értéküket. Log3(1) = 0, log3(0) = -végtelen, de log3(-1) = ?. A következő egyenlet állítható fel:

3^x = -1

Ahol x = a + b*i (komplex szám)

(i a képzetes egységet jelöli)

e^( (a+b*i)*ln(3) ) = -1

e^(a*ln(3)) * e^(b*i*(ln(3))) = -1

e^a * (cos(b*ln(3)) + i*sin(b*ln(3)) ) = -1

... stb.

x = 0 + i*pi/ln(3)

Tehát ha i*pi/ln(3)-at felemeljük a 3-ra, akkor -1-et fog adni és log3(-1) = i*pi/ln(3).

(Ezt a megoldást az egyik tanárom vezette le nekem.) Ahogy mások is említették a komplex számokkal való műveletek többnyire periodikusosak, nem csak egy eredményük van... aki ilyennel akar foglalkozni, annak nagyon bele kell magát ásnia a komplex számokba, annyit kevés tudni, hogy a+bi szor c+di az ac-bd plusz (ad+bc)i, sok szabályt kell megtanulnia. De tanácsolom mindenkinek, hogy nyugodtan merüljön bele ilyen dolgokba. Interneten nagyon sokat lehet tanulni a komplex számokról és véleményem szerint mindenhol, ahogy a matematikában is egyetlen egy dolog lehetetlen: a lehetetlenség!

Az elmúlt időben mégjobban beleástam magam ebbe az érdekfeszítő témában. Most lefogom vezetni nektek, hogy log3(-1) miért is éppen i*pi/log(3) és hogyan is jött ez ki. De előbb egy kicsit ismertetném a komplex számokat.

A "z" komplex szám: z=a+b*i, ahol "a" és "b" valós szám. z=a+bi=(a;b)

Műveletek velük:

Szorzás: z1*z2=(a;b)*(c;d)=(ac-bd;ad+bc)

Összeadás: z1+z2=(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)

Osztás: z1/z2=(a;b)/(c;d)=( (ac+bd)/(c^2+d^2) ; (bc-ad)/(c^2+d^2) )

Egy komplex szám a valós (pozitív) tengellyel egy szöget is bezár ez a szög fí.

arg(z)=fí

Egy komplex szám abszolút értéke: r=négyzetgyök(a*a+b*b)=(a^2+b^2)^0.5

z=r(cos(fí)+i*sin(fí))

z=r*e^(i*fí)

e^x=exp(x)

exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)

n. gyök: n. gyök(r) * (cos((fí+2*k*pi)/n) + i*sin((fí+2*k*pi)/n)), ahol k={0;1;...;n-1} (több megoldás is van)

z^w = exp(w*log(z))

Összefüggések a valós számok és logaritmus között:

logn(a*b)=logn(a)+logn(b)

logn(a^b)=logn(a)*b

logn(a)/logn(b)=logb(a) Ez fontos!!!

A komplex számok és a logaritmus:

log(z)=ln(r)+i*arg(z)=ln(|e^a *(cos(b)+i*sin(b))|) + i*arg(e^a *(cos(b)+i*sin(b)))

Példák:

1)

log(-1)=ln(1)+i*arg(-1)=i*pi

Ell.:

10^(i*pi)=e^(i*pi+log(10))=e^(i*pi)=-1

2)

log3(-1)=(log(-1))/(log(3))=i*pi/log(3) (Előző feladat figyelembe vételével)

Ell.:

3^(i*pi/log(3))=e^(i*pi/log(3) *log(3))=e^(i*pi)=-1

3)

log(i)=ln(|i|)+i*arg(i)=0+i*pi/2

Ell.:

10^(i*pi/2)=e^(i*pi/2*log(10))=e^(i*pi/2)=i

4)

ln(i)=0+i*fí=i*pi/2

Ell.:

e^(i*pi/2)=i

5)

logi(e)=ln(e)/ln(i)=1/(i*pi/2)=-2*i/pi

Ell.:

i^(-i*2/pi)=e^(-i*2/pi *log(i))=e^(-i*i*(2/pi)*(pi/2))=e^1=e

Hát, én azt hiszem, hogy már értem. Nekem rengeteget segített ez kérdés (, hogy rávett, hogy utánna nézzek ezeknek a dolgoknak). Remélem sikerült kielégítő választ adnom. Egyébként ez az oldal [link] és az interneten még sok másik is rengeteget segít.