Ezt hogy kell megoldani?

gyök(2x+6)-gyök(9-x) = 2

Kikötések:

2x+6>=0 -> x>=-3

9-x>=0 -> x<=9

gyök(2x+6)-gyök(9-x) = 2 // ()^2

x + 15 - 2gyök(12x+54-2x^2) = 4 // +2gyök(12x+54-2x^2)-4

x + 11 = 2gyök(12x+54-2x^2) // ()^2

x^2 + 22x + 121 = 48x + 216 - 8x^2 // +8x^2-48x-216

9x^2 - 26x - 95 = 0

x12= (26 +- gyök(26^2+4*9*95))/18 = (26 +- gyök(4096))/18 = (13 +- 32)/9

x1 = (13 + 32)/9 = 5

x2 = (13 - 32)/9 = -19/9 ~ -2,111..

Visszahelyettesítünk, hogy kiszűrjük a hamis gyökö(ke)t:

x=5: gyök(2x+6)-gyök(9-x) = gyök(16)-gyök(4)=4-2=2, tehát x=5 megoldás

x=-19/9: gyök(2x+6)-gyök(9-x) = gyök(16/9) - gyök(100/9) = 4/3 - 10/3 = -2 <> 2, tehát ez hamis gyök és azt is látjuk, hogy az első négyzetre-emelésnél keletkezett.

Csak a megoldás egy más módját szeretném megmutatni, amivel kisebb a hibázás lehetősége

√(2x + 6) - √(9 - x) = 2

Az ilyen feladatnál célszerű előbb átrendezni az egyenletet

√(2x + 6) = √(9 - x) + 2

Négyzetre emelés

2x + 6 = 9 - x + 4√(9 - x) + 4

összevonás után

3x - 7 = 4√(9 - x)

Négyzetre emelés

9x² - 42x + 49 = 16(9 - x)

Összevonás, nullára rendezés után

9x² - 26x - 95 = 0

Innen már nem probléma a megoldás. A diszkrimináns meg egy szép négyzetszám. :-)