Aki jó matekos, segítene ezeket megérteni?

Akkor menjünk csak sorjában.

a. Adva vannak a következő vektorok: d=(AB+BC)/2, e=(BC+CA)/2, f=(CA+AB)/2. Ebből kiszámíthatod az AB, a BC és a CA vektorokat. Mivel a vektorok számítása úgy működik, hogy vég mínusz a kezdet, ezért a kapott eredmények alapján új egyenletrendszert írhatsz fel, és oldhatsz meg.

a) feladat:

- A keresett háromszög oldalegyeneseire esnek a felezőpontok. (Különben nem oldalfelező pontok, ha nincsenek is rajta az oldalon.) Továbbá:

- Az oldalfelező egyenesek párhuzamosak az oldalakkal. Ez a párhuzamos szelők tételéből következik. (Pontosabban annak megfordításából.)

[link]

-> Tehát keresünk egy olyan háromszöget, aminek oldalai párhuzamosak az oldalfelező vonalak által leírt háromszög oldalaival, továbbá az oldalai tartalmazzák az oldalfelező vonalak által leírt háromszög csúcsait.

Innen már csak behelyettesítés és egyenletszámítás:

d(2;8)

e(4;2)

f(6;4)

Akkor az "a" oldalegyenes egyenlete, ha "d" a rajta fekvő pont és "ef"-fel párhuzamos:

- Az irányvektora v(2;2) egyszerűsítve (1;1).

("f" 1. koordinátájából 6 kivontam "e" első koordinátáját 4-et, az a 2, ugyanez a második koordinátával az a másik 2. Továbbá az irányvektort bármilyen 0-tól különböző számmal szorozva, osztva önmagát kapjuk, és így egyszerűbb lesz a számolás.)

Egyenes egyenlete v2*x-v1*y=v2*x0-v1*y0 (ahol "d" koordinátái az x0 és y0)

Tehát:

a: 1*x-1*y=1*2-1*8 azaz x-y=-6

A "b" oldalegyenes egyenlete, ha "e" a rajta fekvő pont és "df"-fel párhuzamos:

- e(4;2); v(-1;1)

b: x+y=6

A "c" oldalegyenes egyenlete, ha "f" a rajta fekvő pont és "de"-fel párhuzamos:

- f(6;4); v(-1;3)

c: 3x+y=22

Megoldva párban az egyenleteket:

- "A" pont:

b: x+y=6

c: 3x+y=22

pl. ha a kettőt kivonjuk egymásból 2x=16, x=8 Visszahelyettesítve 1.-be: y=-2 Azaz:

A(8;-2)

- "B" pont:

a: x-y=-6

c: 3x+y=22

B(4;10)

- "C" pont:

a: x-y=-6

b: x+y=6

C(0;6)

A keresett háromszög csúcsai:

A(8;-2); B(4;10); C(0;6)

(Felskiccelve egy koordináta-rendszer ábrát lehet ellenőrizni a helyességét.)

c) feladat:

(Itt nem tudok vektorjeleket rajzolni. Nagybetűs szakaszok felülvonásosak, kisbetűsök (ezek helyvektorok) meg alul, de lehet felül is, lényeg, hogy minden vektorjellel legyen. :) )

- Egyszer:

AS=s-a

BS=s-b

CS=s-c

- Másodszor a súlyvonal-tételből következik, amit már kolléga is felírt:

s=(a+b+c)/3

[link]

Tehát AS+BS+CS=(s-a)+(s-b)+(s-c)=3s-(a+b+c)=3*(a+b+c)/3-(a+b+c)=0.

AS+BS+CS=0

A b) feladat pedig a c) feladatból következik.

Nem azért mert az origóba esik a köré írt kör középpontja, hanem azért mert "szabályos háromszög"-ről van szó és ilyenkor a súlypont és a körülírt kör középpont (továbbá a beírt köré is) egybe esik. Akkor OA+OB+OC=0 más alakba írva, mivel "O" az "S"-sel ugyanaz: SA+SB+SC=0.

Ezt "(-1)-gyel szorozva": AS+BS+CS=0. Ez az egyenlet a c) feladatban már bizonyítást nyert.