Hogy lehet kiszámolni improprius integrál határértékét?

Ha a=1, akkor lim(b-> végtelen) [lnb-ln1] lesz, ami nem konvergens.

Ha a nem egyenlő 1, akkor az integrálás eredménye:

lim(b tart végtelen) [x^(1-a)/(1-a)] 1től b-ig improprius integrált kapod, ami nem más mint 1/(1-a)*lim(b tart végtelen)(b^1-a-1).

Ez akkor lesz konvergens, ha a b^(1-a) véges, ami akkor következik be, ha a>1. Ekkor a határérték értéke -1, vagyis az improprius integrál értéke 1/(a-1) lesz.

igen ott rövidítettem kicsit, meg annyira nem is átlátható így, de megprob még egyszer:D Azt gondolom érted a határérték honnan jön be, ha végtelenig kell integrálnod elvágod valahol, pl b-nél, és ez a b tart végtelenbe. Az 1/x^a az x^(-a), ennek az integrálja pedig x^(-a+1)/(-a+1) csak én megfordítottam ezért x^(1-a)/(1-a). Ez ugye határozott integrál, és 1től b-ig integrálom, tehát használva a Newton -Leibnitz szabályt:

b^(1-a)/(1-a)-[1^(1-a)/(1-a) és ez van a határértéken belül, ahol b tart végtelenhez. Ebből ki lehet emelni 1/(1-a)-t mert az konstans, az 1^(valahanyadikon) pedig simán csak 1. A másik tag a határértéke mint mondtam a>1 esetén 0, mivel ekkor 1/végtelen adódik, tehát visszamarad a -1es szorzó a határértékből, valamint kiemeltük ugye az 1/(1-a), ezt összeszorozva pedig -1/(1-a)=1/(a-1) adódik.