Létezik olyan nem egyjegyű négyzetszám, melynek minden számjegye páratlan?

"Érdekesség: A négyzetszámok emelkedő sorrendben a legkisebbtől emelkedő sorrendben a páratlan számok összegei egytől kezdve ahol egy páratlan szám sem maradhat ki. azaz a négyzetszámok a páratlan számok összegei."

Ez nem akkora érdekesség, középiskolában tanítják a számtani sorozat témakörénél.

Először is, a 400 esetén minden számjegy páros, tehát minden számjegy lehet páros.

Egyébként nem olyan nehéz belátni, hogy ilyen nincs. Tudnunk kell azt, hogy ha egész számokat összeszorzunk, akkor az utolsó n számjegyet csak a szorzótényezők utolsó n számjegye befolyásolja, például a 35987956*45628705 szorzat utolsó két számjegye megegyezik az 56*05 szorzat utolsó két számjegyével.

Nézzük a kétjegyű számok négyzeteit; az ab kétjegyű szám felírható 10a+b alakban. Vegyük ennek a négyzetét:

(10a+b)^2 = ... = 100a^2 + 20ab + b^2

A 100a^2 biztosan 00-ra végződik, így azzal nem kell foglalkoznunk.

A 20ab átírható úgy, hogy 2*(10ab), ennek az utolsó két számjegye biztosan 2 páros számjegy; az első bármi lehet, a második 0, tehát a 00, 20, 40, 60, 80 jöhet számításba.

A b^2 egy egyjegyű négyzetszám. Ha b páros, akkor párosra végződik, tehát lesz páros számjegy. Maradnak a páratlan négyzetszámok;

1, 9, 25, 49, 81

Ezek közül bármelyiket hozzáadod a kerek számokhoz, a második számjegy mindig páros lesz.

Tehát a 10-es számrendszerben nincs 9-nél nagyobb, csak páratlan számjegyet tartalmazó négyzetszám. Sőt, még azt is elmondhatjuk, hogy minden páratlan négyzetszám második jegye páros.

#5, sosem lehet tudni. Lehet, hogy ez egy sokkal bonyolultabb tétel segédtétele, aminek már van gyakorlati haszna.

Gondolkozni, problémát felvetni, sosem árt.

Páratlan négyzetszámok:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, 1521, 1681, 1849, 2025,...

Láthatjuk a mintát, felismerhetjük a ciklust.