Általánosságban van értelme a deriváltnak?

Kérdező: annyiban teljesen igazad van, hogy középiskolai tanárként számodra kb. semmi jeletősége nem lesz a jövőben, hogyha a közoktaásban akarsz tanítani. Ettől függetlenül nem árt, hogyha tudsz róla, és alapvető számításokra is képes vagy a témakörben.

A gond az, hogy az egyetemi tanárok nagy többsége nem képes a tanításra, bármennyire is jó szakemberek (és van egy részük, aki a háta közepére sem kívánja, csak hát az egyetem kötelezi őket). Azért nem ártana, ha leglalább a számítás indítékát elmondanák, ha már gyakorlati jelentőséget nem mutatnak.

A küszöbszám egyébként egy rém egyszerű dolog;vegyük például a sin(n)/n sorozatot, erről tudjuk, hogy 0-hoz tart a végtelenben. Most húzzunk egy-egy, egymással párhuzamos egyenest ezeken a számokon keresztül (mindegy, hogy a sorozat tagjait számegyenesen vagy koordinátarendszerben ábrázolod), például a 0,1 és a -0,1-en keresztül (csak hogy szimmetrikusan legyünk a 0-tól). Bizonyos idő után megfigyelhetjük azt, hogy a sorozat tagjai a két egyenes által meghatározott "sávon" szerepelnek. Azt a tagot, amely után (vagy amelytől kezdve, definíció kérdése) az ÖSSZES tag a sávon belül marad. Ha egy sorozat konvergens, akkor akárhogyan választjuk meg a "sáv" széleit, a sorozat tagjai egy bizonyos tag után nézve az összes tag ezen sávon belül marad.

A küszöbindex definíciójának megfelelően igazából egy konvergens sorozat bármilyen környezetéhez végtelen sok küszöbindex mondható, valójában mi nem feltétlenül a legkisebb sorszámú tagot keressük, hanem egy olyan tagot, amelyre ez igaz. Például a felhozott sorozatnál nehéz lenne megmondani, hogy melyik az első tagja, ami 10^(-10) és -10^(-10) közé esik, ellenben azt biztosan el tudjuk mondani, hogy a (10^10)+1-edik tagja, és az azt követőek mind benne lesznek, tehát küszöbindexnek mondható ez a szám.

A deriválás legtöbb esetben szélsőértékproblémáknál szokott előkerülni, ugyanis tudjuk azt, hogy ha egy függvény differenciálható és van szélsőértéke (minimuma vagy maximuma), akkor ott a derivált értéke biztosan 0. Ebből pedig sok minden kiszámolható.

Ami még fontos tulajdonsága, hogy a függvény monotonitása vizsgálható, ezzel tudjuk azt megmondani, hogy az adott függvény mettől-meddig nő/csökken, illetve a mértékét is meg tudjuk mondani.

Ami még érdekesebb, és a te tananyagodat is érinti; biztosan találkoztál már az x^2 függvénnyel. Úgy ábrázoltuk, hogy az egész számokhoz tartozó értékeket kiszámoltuk, aztán összekötöttük a pontokat. De felmerült már benned a kérdés, hogy miért pont úgy kellett összekötni őket? Elvégre lehetne máshogyan is. Mint ahogyan a sin(x) függvénynél sem működik az, hogy az egész számokhoz tartozó értékeket kiszámoljuk, a pontokat ábrázoljuk és "valahogyan" összekötjük őket. Bonyolultabb függvényeknél meg pláne nem működik ez. Ahhoz, hogy a (kétszeresen differenciálható) függvényeket ábrázolni tudjuk akár csak sematikusan is, szükséges deriválnunk.

A másik dolog, hogy deriválás nélkül az integrálás is eléggé nehezen menne, az integrálás pedig a területszámításnál nagyon fontos.

Nézd meg bármely fizikai egyenletet, és majdnem mindegyikben szerepel a derivált.

Newton: d(m v)/dt=F

Maxwell egyenletek, schroedinger egyenlet stb.

De ha mondjuk nehézséget jelent a küdzöbszám megértése, vagy az hogy lásd hogy a deriválás hol hashnálható, akkor én nagyon erősen elgondolkodnék hogy neked való e a matek tanári.

A másik hogy simán van olyan hogy valamit nem értesz meg az órán. Ilyenkor fel tudsz menni az internetre és rákeresni. Mert a küszöbszám és a deriválás is olyan alapvető hogy végtelen mennyiségű anyag van fent róla a neten. Egyetemen már nem működik az mint középsuliban, hogy beülsz az órákra és semmi extra erőfeszítéssel mindent érteni fogsz.