A sorozat akkor konvergens, ha monoton,és hatérértékkel rendelkezik?

Valószínűleg arra gondolsz, hogy korlátos, monoton sorozat konvergens.

(A konvergens és az, hogy határértékkel rendelkezik, ugyanazt jelenti.)

Korlátos, monoton sorozat konvergens.

Minden korlátos és monoton sorozat konvergens.

Vigyázat, fordítva már nem igaz! Egy sorozatnak nem kell monotonnak lennie, hogy konvergens legyen.

Tudod, mit jelent a monoton szó? Azt, hogy a sorozat nem ugrál. Most képzelj el egy sorozatot, aminek van egy határértéke, és két oldalról közeledik hozzá! Ez a sorozat nem monoton.

Ami a végtelenbe tart, az nem konvergens, hanem divergens.

Az állítás, hogy egy sorozat konvergens, ha monoton és hatérértékkel rendelkezik, nem teljesen helyes. A konvergens sorozatoknak valóban van hatérértékük, azonban nem minden konvergens sorozat monoton. A sorozatok konvergenciáját és monotonitását külön-külön kell értékelni. Az alábbiakban részletesebben ismertetem ezeket a fogalmakat:

Konvergens sorozat: Egy sorozat akkor tekinthető konvergensnek, ha van egy hatérértéke, vagyis van egy érték, amelyhez a sorozat egyre közelebb kerül, ahogy a sorozat elemei végtelenül sokáig folytatódnak. Például a sorozatnak lehet egy határértéke, amelyhez tart egy bizonyos ponton.

Monoton sorozat: Egy sorozat monoton, ha minden elemétől a következő elemhez képest mindig nagyobb (növekvő monoton) vagy mindig kisebb (csökkenő monoton). A monoton sorozatoknak lehet felső határa (ha növekvő monoton) vagy alsó határa (ha csökkenő monoton), de nem feltétlenül van határértékük.

A konvergens sorozatoknak van határértékük, de nem feltétlenül monotonok. Például a "(-1)^n" sorozat, amely váltakozó előjelű számokból áll, konvergens, mivel a határértéke 0, de nem monoton. Ugyanakkor vannak monoton sorozatok is, amelyeknek van határértékük, például a növekvő pozitív egész számok sorozata, amelynek határértéke pozitív végtelen.

Tehát egy sorozat konvergenciáját és monotonitását külön-külön kell megvizsgálni és értékelni. A konvergens sorozatoknak határértékük van, de monotonitásuk nem feltétlenül szükséges. A monoton sorozatoknak lehet határértékük, de ez nem feltétlenül garantált.