Milyen olyan divergens sorozatok vannak, amiknek a hányadosuk konvergens? És miért?

Például an = (–1)^n*n, bn = (–n)^n esetén elég nyilvánvaló, hogy mind a kettő divergens, viszont an/bn konvergens lesz, mert an és bn előjele azonos, tehát an/bn > 0, így korlátos alulról, valamint

an/bn = n/n^n = n^(–n)*n > (n + 1)^(–n) = (n + 1)/(n + 1)^(n + 1) = a_(n+1)/b_(n+1),

tehát szigorúan monoton csökken.

a(n)=2n+1

b(n)=n^2+2

c(n)=\frac{a(n)}{b(n)}=\frac{2n+1}{n^2+2}

\lim c(n)=0

b(n) "gyorsabban nő".

Ezeknél sokkal egyszerűbb példa is adható;

Veszel egy divergens sorozatot, például a(n)=n, és legyen b(n)=a(n)=n, ekkor a két sorozat hányadosa a(n)/(b(n)=n/n=1, ez értelemszerűen konvergens. Ha nem akarod, hogy a két sorozat ugyanaz legyen, akkor legyen b(n)=-n, ekkor a hányadosuk -1 lesz.