Milyen további szintek vannak a matematikában?

Hát a deriválás, integrálás, mátrixok, közdiff... Ezeket azért nem nevezném olyan nagy durranásnak, utóbbin kívül a többi egy jobb képességű középiskolásnak már elmondható minden nehézség nélkül, akár még részletesebben is. Régen ugye megvolt, hogy voltak, akik analízist szerették csinálni, voltak, akik kombinatorikát, valszámot, geót, algebrát, számelméletet stb. Ma már ez sem igaz. Én magam speciel differenciálgeometriával foglalkozom, de már a geometria is annyira kiterjedt terület, hogy ha elémraknának egy erősebb algoritmikus geometriai vagy kombigeós problémát, akkor csak néznék, mint Jenő a moziba'. Van egy alap, amit minden (jó, majdnem minden) matematikus tud, ez nagyjából az, amit előttem leírtak, de rövidebben: analízis, mértékelmélet, nummat, valelm és stat, algebra, kombi, számelmélet, geó, közdiff és parcdiff, és talán külön kiemelném a lineáris algebrát.

De hogy lásd, hogy nem matematikus szakon mennyire van egyszerűsítve az élete a hallgatóknak, lehet adni (nem is egy, nagyon sok) olyan függvényt, ami minden pontjában folytonos, de sehol sem differenciálható. Erre már Weierstraß adott is példát. Tehát a szokásos deriválás-integrálás sem olyan egyszerű, mint az ember gondolná, ha kiugrunk a rutinfeladatok világából.

Vagy például csak hogy egy teljesen rutin többes integrállal adódó, de teljesen az intuícióval ellentétes geometriai példát mutassak, az n dimenziós koordinátatérben az egységgömb n-dimenziós térfogata

V(n)=π^{n/2}/Γ(n/2+1), ahol Γ(.) az Euler-féle gamma-függvény. Ez azt jelenti, hogy 5 dimenzióig az egységgömb térfogata nő, viszont utána nagyon gyorsan nullához konvergál, miközben az őt tartalmazó egységkocka térfogata ugyanúgy 1. Itt is csak kicsit moccantam ki a rutin-geometriából, és máris egy nagyon furcsa jelenséget tapasztalunk. Sőt, igazából a rutinból se moccantam ki, a világ legtermészetesebb kérdése, hogy hogy viselkedik a térfogatmérték a világ legtermészetesebb alakzataira magasabb dimenziókban.

Ezt azt jelenti, hogy bizonyos dimenziókon felül, bizonyos alakzatok nem is létezhetnek, mert nem lenne térfogatuk?

Vagy ez csak matematika? Vagy a valós fizikában is így van?

A valós fizikában nincs ilyen tudtommal. A makro szinten biztos nem, kvantum oldalon meg nem tudom. A fizikában lehet N dimenzió, de a tér nem léphet 3 dimenzió felé. Dimenzió az idő, hőmérséklet, mágneses térerő, stb.

Tehát létezik pl a Minkowski féle 4 dimenziós tér, de itt a 4. dimenzió az idő. A fizikában csak a való életben létező (vagy sejtett) dolgokat lehet leírni. Nincs 6 dimenziós kocka (már ha mind a 6 dimenzió alatt valamilyen iránybeli kiterjedést értünk)

Matematikában létezik az igazi n dimenziós test