Melyik esetben nyerek többet az ötös lottón? (várható értékben)

Ha a ket szelveny teljesen kulonbozo, akkor dupla a nyeresi eselyed. Ha tegyuk fel van ket teljesen egyforma szelvenyed, akkor viszont egyszeres a nyeresi eselyed (ahhoz kepest ha csak 1 ugyanolyan szelvenyed lenne).

Ha a szelvenyek kozt van hasonlosag, akkor az esely valahol a ketto kozott lesz. Peldaul ha 4 szam is megegyezik, akkor az 1-szeresnel nem lesz sokkal nagyobb, de ugyanakkor ha az egyik szelveny nyer, akkor a masik 4 talalatos. Ertelem szeruen ha 3, 2 vagy 1 egyezes van, akkor egyre nagyobb az esely hogy az egyik szelveny nyerni fog, de sosem dupla.

Szerintem az kavarja meg legtöbb embert, hogy a lottó ennél picit összetettebb, mint az általában felvázolt elméleti modell.

A plusz tényező, amit többnyire ki szoktak venni a képletből, az az, hogy egy bizonyos keret áll rendelkezésre kifizetéskor, annyi ember felé oszlik a nyeremény, ahányan nyertek. Ezért hajlamos az ember teli találat esetén úgy venni, hogy két teljesen azonos lottóval csupán egyszer nyer, hiszen nem tudnak több pénzt adni érte, hiába nyert duplán (persze ez sem pontos, erre később visszatérek).

Míg mivel pl. 3-as találatból viszonylat sok van így is úgy is, ezért ott hajlamos az ember úgy számolni, hogy többszörös 3-as találata van.

A valós helyzet ezért nem ennyire egyszerű. Tulajdonképpen mindig (a telitalálatnál és a 3-as találatnál is duplán nyersz két azonos szelvény esetén is), tehát első megközelítésben, ha a pénz korlátlan lenne, amit szétosztanak, akkor az általad felvázolt mindkét esetben ugyan annyit nyernél. Viszont a valóságban ezt nagyon nehéz meghatározni és nagyban függ a körülményektől - attól, hogy mások milyen számokkal játszottak és attól, hogy mennyi bizonyos találatok esetén a kiosztásra kerülő pénz.

Nézzünk szélsőséges eseteket a megértéséhez: abban az esetben, ha egymagad lottózol az egész országban és van 3-as találatod, lényegében mindegy mennyi hármas találatod volt, mindenképp az összes 3-as találatra szánt pénzt te nyered meg (legalábbis én így tudom).

Szóval ennyiből nem kiszámolható

A teli találatra szerettem volna még visszatérni, hogy szemléltessem a bonyolultságát:

Ha nagyon-nagyon sokan játszanak és várhatóan több teli találatos szelvény is előfordulhat, akkor ebben az esetben jól jársz, ha két ugyan olyan szelvénnyel játszottál, mert tegyük fel a 10 teli találatos közül 2 a tiéd volt, az erre szánt összeg 20%-át kapod, míg a többek a 10-10%-ot.

Viszont ha várhatóan nem lesz teli találatos szelvény, akkor feleslegesen veszel 2 lottót ugyan olyan számokkal, mert 1 szelvénnyel is ugyan azt viszed el, mint 2-vel.

ÉS hogy tovább bonyolítsam, függ attól is, hogy épp mit húznak ki és a játékosoknak milyen a "kedve", "miben hisznek":

Tegyük fel rengetegen szeretik a kerek számokat 10-20-30.. Ebben az esetben, ha kerek számokat húznak ki, akkor jóval több találat lesz így több felé oszlik a pénz és kevesebb a te várható nyereményed. (Ilyen elő is fordult úgy tudom, mindenki nagy megdöbbenésére irreálisnak tűnő teli találatos volt a "túl szép" számok miatt.)

Viszont ha olyan szelvényekkel játszol, amikkel senki nem szeret, akkor nem kell osztoznod a nyereményen.

Tehát ez elméleti síkon egyszerű kérdés, gyakorlatban nagyon mély elemzés kéne, hogy a tényleges várható értéket megmondjuk.

A teli találat szempontjából mindkét esetben ugyanannyi a nyereményed.

Egy azonos szám nem számít mert a kettes talalattol fizet a lottó.

Tehát ha két azonos szám van mindkét szelvenyen, akkor egy telitalálat esetén a másik szelvény is fizet a kettes után.

Ugyanez egészen a két talalatig modellezheto.

Ahogy számolom a 2.-ik (12:16-os) válasz a helyes.

Ennél bővebben:

Összeszámolva hogy a két szelvény közül mely esetek hányféle képpen lehetnek és súlyozva w0 ... w5 - el. A súlyok a részben vagy egészben egyező szelvényhez nyeremény értéke. Formálisan írom, tudom hogy nem fizet bármely esetben, ekkor az aktuális súly 0.

Így w0 jelenti a 0 találatos szelvényhez tartozó nyereményt ... w5 az 5 találatos szelvényhez tartozó szelvényt.

Az hogy melyik eset hány féle képpen fordulhat elő azt a hozzárendelt darabszám jelenti súlyszorzó nélkül.

Így például ha az A szelvényen 2 találat B szelvényen 3 találat van, és A és B között sosem lehet egyező szám ( 2 , 3 ) --> 100. Azaz ilyen 100 féleképpen fordulhat elő. Ugyanakkor például (5 , 5 ) --> 0 mivel ilyen eset nem létezik.

A várható érték az összes lehetséges esethez tartozó aktuális nyeremények összege osztva az összes eset számával.

Ha nem lehet azonos szám a két szelvény között:

24040016 * 2 * w0

( 0 , 1 ) --> 7907900 * ( w0 + w1 )

( 0 , 2 ) --> 821600 * ( w0 + w2 )

( 0 , 3 ) --> 31600 * ( w0 + w3 )

( 0 , 4 ) --> 400 * ( w0 + w4 )

( 0 , 5 ) --> 1 * ( w0 + w5 )

( 1 , 0 ) --> 7907900 * ( w1 + w0 )

( 1 , 1 ) --> 2054000 * 2 * w1

( 1 , 2 ) --> 158000 * ( w1 + w2 )

( 1 , 3 ) --> 4000 * ( w1 + w3 )

( 1 , 4 ) --> 25 * ( w1 + w4 )

( 1 , 5 ) --> 0 * ( w1 + w5 )

( 2 , 0 ) --> 821600 * ( w2 + w0 )

( 2 , 1 ) --> 158000 * ( w2 + w1 )

( 2 , 2 ) --> 8000 * 2 * w2

( 2 , 3 ) --> 100 * ( w2 + w3 )

( 2 , 4 ) --> 0 * ( w2 + w4 )

( 2 , 5 ) --> 0 * ( w2 + w5 )

( 3 , 0 ) --> 31600 * ( w3 + w0 )

( 3 , 1 ) --> 4000 * ( w3 + w1 )

( 3 , 2 ) --> 100 * ( w3 + w2 )

( 3 , 3 ) --> 0 * 2 * w3

( 3 , 4 ) --> 0 * ( w3 + w4 )

( 3 , 5 ) --> 0 * ( w3 + w5 )

( 4 , 0 ) --> 400 * ( w4 + w0 )

( 4 , 1 ) --> 25 * ( w4 + w1 )

( 4 , 2 ) --> 0 * ( w4 + w2 )

( 4 , 3 ) --> 0 * ( w4 + w3 )

( 4 , 4 ) --> 0 * 2 * w4

( 4 , 5 ) --> 0 * ( w4 + w5 )

( 5 , 0 ) --> 1 * ( w5 + w0 )

( 5 , 1 ) --> 0 * ( w5 + w1 )

( 5 , 2 ) --> 0 * ( w5 + w2 )

( 5 , 3 ) --> 0 * ( w5 + w3 )

( 5 , 4 ) --> 0 * ( w5 + w4 )

( 5 , 5 ) --> 0 * w5

Az összes eset 43949268.

Várható érték : ((24040016 * 2 * w0) + (7907900 * ( w0 + w1 )) + (821600 * ( w0 + w2 )) + (31600 * ( w0 + w3 )) + (400 * ( w0 + w4 )) + (1 * ( w0 + w5 )) + (7907900 * ( w1 + w0 )) + (2054000 * 2 * w1) + (158000 * ( w1 + w2 )) + (4000 * ( w1 + w3 )) + (25 * ( w1 + w4 )) + (0 * ( w1 + w5 )) + (821600 * ( w2 + w0 )) + (158000 * ( w2 + w1 )) + (8000 * 2 * w2) + (100 * ( w2 + w3 )) + (0 * ( w2 + w4 )) + (0 * ( w2 + w5 )) + (31600 * ( w3 + w0 )) + (4000 * ( w3 + w1 )) + (100 * ( w3 + w2 )) + (0 * 2 * w3) + (0 * ( w3 + w4 )) + (0 * ( w3 + w5 )) + (400 * ( w4 + w0 )) + (25 * ( w4 + w1 )) + (0 * ( w4 + w2 )) + (0 * ( w4 + w3 )) + (0 * 2 * w4) + (0 * ( w4 + w5 )) + (1 * ( w5 + w0 )) + (0 * ( w5 + w1 )) + (0 * ( w5 + w2 )) + (0 * ( w5 + w3 )) + (0 * ( w5 + w4 )) + (0 * w5))/43949268 = 3644613*w0/2441626 + 10123925*w1/21974634 + 493850*w2/10987317 + 5950*w3/3662439 + 425*w4/21974634 + w5/21974634

Ha 1 közös szám van :

( 0 , 0 ) --> 25621596 * 2 * w0

( 0 , 1 ) --> 6654960 * ( w0 + w1 )

( 0 , 2 ) --> 511920 * ( w0 + w2 )

( 0 , 3 ) --> 12960 * ( w0 + w3 )

( 0 , 4 ) --> 81 * ( w0 + w4 )

( 0 , 5 ) --> 0 * ( w0 + w5 )

( 1 , 0 ) --> 6654960 * ( w1 + w0 )

( 1 , 1 ) --> 3028860 * 2 * w1

( 1 , 2 ) --> 419040 * ( w1 + w2 )

( 1 , 3 ) --> 20736 * ( w1 + w3 )

( 1 , 4 ) --> 328 * ( w1 + w4 )

( 1 , 5 ) --> 1 * ( w1 + w5 )

( 2 , 0 ) --> 511920 * ( w2 + w0 )

( 2 , 1 ) --> 419040 * ( w2 + w1 )

( 2 , 2 ) --> 54756 * 2 * w2

( 2 , 3 ) --> 1968 * ( w2 + w3 )

( 2 , 4 ) --> 16 * ( w2 + w4 )

( 2 , 5 ) --> 0 * ( w2 + w5 )

( 3 , 0 ) --> 12960 * ( w3 + w0 )

( 3 , 1 ) --> 20736 * ( w3 + w1 )

( 3 , 2 ) --> 1968 * ( w3 + w2 )

( 3 , 3 ) --> 36 * 2 * w3

( 3 , 4 ) --> 0 * ( w3 + w4 )

( 3 , 5 ) --> 0 * ( w3 + w5 )

( 4 , 0 ) --> 81 * ( w4 + w0 )

( 4 , 1 ) --> 328 * ( w4 + w1 )

( 4 , 2 ) --> 16 * ( w4 + w2 )

( 4 , 3 ) --> 0 * ( w4 + w3 )

( 4 , 4 ) --> 0 * 2 * w4

( 4 , 5 ) --> 0 * ( w4 + w5 )

( 5 , 0 ) --> 0 * ( w5 + w0 )

( 5 , 1 ) --> 1 * ( w5 + w1 )

( 5 , 2 ) --> 0 * ( w5 + w2 )

( 5 , 3 ) --> 0 * ( w5 + w3 )

( 5 , 4 ) --> 0 * ( w5 + w4 )

( 5 , 5 ) --> 0 * w5

Az összes eset 43949268.

Várható érték : ((25621596 * 2 * w0) + (6654960 * ( w0 + w1 )) + (511920 * ( w0 + w2 )) + (12960 * ( w0 + w3 )) + (81 * ( w0 + w4 )) + (0 * ( w0 + w5 )) + (6654960 * ( w1 + w0 )) + (3028860 * 2 * w1) + (419040 * ( w1 + w2 )) + (20736 * ( w1 + w3 )) + (328 * ( w1 + w4 )) + (1 * ( w1 + w5 )) + (511920 * ( w2 + w0 )) + (419040 * ( w2 + w1 )) + (54756 * 2 * w2) + (1968 * ( w2 + w3 )) + (16 * ( w2 + w4 )) + (0 * ( w2 + w5 )) + (12960 * ( w3 + w0 )) + (20736 * ( w3 + w1 )) + (1968 * ( w3 + w2 )) + (36 * 2 * w3) + (0 * ( w3 + w4 )) + (0 * ( w3 + w5 )) + (81 * ( w4 + w0 )) + (328 * ( w4 + w1 )) + (16 * ( w4 + w2 )) + (0 * ( w4 + w3 )) + (0 * 2 * w4) + (0 * ( w4 + w5 )) + (0 * ( w5 + w0 )) + (1 * ( w5 + w1 )) + (0 * ( w5 + w2 )) + (0 * ( w5 + w3 )) + (0 * ( w5 + w4 )) + (0 * w5))/43949268 = 3644613*w0/2441626 + 10123925*w1/21974634 + 493850*w2/10987317 + 5950*w3/3662439 + 425*w4/21974634 + w5/21974634

Konkrét nyeremény értékekre behelyettesítve :

w0 = 0 Ft

w1 = 0 Ft

w2 = 2195 Ft

w3 = 17535 Ft

w4 = 1142265 Ft

w5 = 2650000000 Ft

Várható érték ~ 269.83219 Ft . Mármint az tizedes pont, így egészre kerekítve 270 Ft.

Mi a várható érték ? : [link]

tegnap 23:16, szép! Nem jutottam rá, hogy végig számoljam, de így álltam volna neki. Annyi, hogy a végén a nyeremény várható értékéből le kéne vonni a szelvények árát, mert az egy konstans kiadás minden esetben… :)

A tegnapelőtti 17:15-es válaszra reagálva:

Jogos, és a tökéletesen precíz számolást tényleg ellehetetleníti, de játszanak annyian, hogy a 2-es és 3-as találatra elég konstans fizet a lottó, 5-öse meg ritkán van több mint egy embernek egy héten. Így egy tipikus értékszettet helyettesítve wi-k helyére nem kapunk olyan rossz választ. Persze lehetne pontosítani, hogy átlagoljuk őket az elmúlt egy évre, de jelen esetben ez oké. A másik, hogy a kérdésben szerepel, hogy random számokat játszunk meg, amivel várhatóan egy tipikus, nagyon ritkán megjátszott szelvényt kapunk, nem az 1,2,3,4,5-öt, amivel még telitalálat esetén se biztos, hogy hazavinnénk egymilliót.

"Ha nem lehet azonos"[...] esetben lemaradt az elejéről ez : "( 0 , 1 ) --> ". (Vágólapon nem volt rajta amikor ide beilleszettem.)

"tegnap 23:16, szép! Nem jutottam rá, hogy végig számoljam, de így álltam volna neki. Annyi, hogy a végén a nyeremény várható értékéből le kéne vonni a szelvények árát, mert az egy konstans kiadás minden esetben… :)"

Köszönöm. Erre én is gondoltam, de a mellett döntöttem hogy nem vonom ki, mivel a nyereményt várható értékét számoltam, pontosabban a bruttó nyereményét. Apropó a feltüntetett nyeremény értékét 5 találat esetében is megkapja tisztán (,ha nincs másik 5 találatos játékos) ? (Azaz nem kell leadózni vagy akármilyen jogcímen nem vesznek el belőle?)

Egyébként könnyű átszámolni : a wi-k értékét a szelvény árával csökkeni kell és ami kijött képlet pedig behelyettesíteni. Nem meglepő, hogy negatív érték fog kijönni.

"lehetne pontosítani, hogy átlagoljuk őket az elmúlt egy évre, de jelen esetben ez oké."

Erre is gondoltam hogy x időre átlagoljuk, meg arra is hogy infláció korrigáltan számoljuk, de az meg modellfüggő hogy korrigáljuk.

"a kérdésben szerepel, hogy random számokat játszunk meg, amivel várhatóan egy tipikus, nagyon ritkán megjátszott szelvényt kapunk, nem az 1,2,3,4,5-öt, amivel még telitalálat esetén se biztos, hogy hazavinnénk egymilliót"

Ezért hátrányos (tipikus) szerencseszámokkal játszani. A valószínűsége hogy kihúzzák ugyanannyi, de ha épp az lesz a telitalálat akkor sokfele oszlik a nyeremény. Míg random számok esetében a kihúzási valószínűség változatlan, de ha az lesz telitalálat annak valószínűsége jóval kisebb hogy más is azt játsza meg.

Annak valószínűsége hogy 1,2,3,4,5-öt húzzák ki és egy sztochasztikus kitöltő pont azt tölti 1 : binomial(90,5)^2 . Azaz 1 a 43949268 négyzetenhez.

A tegnap a modellben amit megadtam egy egyszerűsítés ahol wi-k a súlyok (nyeremény értékek), 5 találat esetében másnak biztosan nem lesz. Így az egy optimista, de nem hasraütött becslés tulajdonképpen.

Nyilván nem csak 1,2,3,4,5-öt játszák meg aránytalanul nagyobb arányban mint amit sztochasztikus játékosok játszanának meg. Így pontosabb modell-t kapunk a tegnapit bővítve, hogy wi-k nem a konkrét találatonkénti nyeremény értékek, hanem korrigált értékek. Méghozzá ehhez konkrét adatsorok kellenének adatelemzéssel, hogy milyen elszolással milyen megjátszott számokkal játszottak. Adatok hiányában találgatni tudunk, hogy milyen 0-1 közötti szorzókat vegyünk wi-k korrigálására.