Mi a különbség a test és a számtest között?

A racionális számtestben, a valós számtestben, a komplex számtestben SZÁMOK vannak, rendre racionális, valós és komplex számok. (A kvaterniók csak ferdetestet alkotnak, a Cayley-féle számoknál meg már az is elveszik, hogy a szorzás asszociatív, tehát ezek már nem számtestek.)

De pl. ha vesszük a modulo 5 maradékosztályokat, és ezeken értelemszerűen értelmezzük az összeadást és a szorzást, akkor egy olyan testet kapunk, aminek az elemei nem számok, hanem maradékosztályok. De ezt lehet tovább absztrahálni. Például, ha T test, akkor értelmezhetők a T test feletti polinomok, és a polinomokon értelmezhető a kongruencia, és a T[x]/m-mel jelölt maradékosztálygyűrű (m T feletti polinom) pontosan akkor lesz test, ha m irreducibilis T felett. Ennek az elemei már nemhogy nem számok, nem is szoros értelemben vett maradékosztályok, hanem egy-egy osztály ebben a gyűrűben az m polinommal kongruens polinomokból-mint reprezentánsokból áll. Egyébiránt így például meg lehet konstruálni a prímhatványrendű véges testeket.

De mondok egy példát, mert az utolsó egy kicsit erős lehetett. :D

Legyen a T test a valós számtest, és az m polinom az x^2+1 polinom. Mivel m irreducibilis T felett, így T[x]/m valóban test, a fent kimondott (nem bizonyított) tétel tükrében.

Nézzük meg pl., hogy ebben a struktúrában melyik maradékosztályt reprezentálja az x^2+x+1 polinom. Itt az x^2+1-et kvázi "0-nak tekintjük", mint ahogy a szokásos számelméleti kongruenciák körében a modulussal osztható számokat, tehát ez a polinom az x-szel kongruens polinomok maradékosztályát reprezentálja. Nézzünk egy bonyolultabb példát, pl. az x^4+2x^2+x+1. Itt észrevehetjük, hogy ez nem más, mint (x^2+1)^2+x, azaz ez a csúnya negyedfokú polinom is reprezentánsa az x-szel kongruens polinomok maradékosztályának. Tehát ebben a testben az x polinom és az x^4+2x^2+x+1 kvázi "ugyanaz". Tudom, ez kicsit erős és tömény, de ez egy remek példa, hogy nem csak számtestek léteznek. Nem is törekedtem itt precizitásra, de ha érdekel, kérdezz, vagy nézz utána. :)