Mi az egyszerű magyarázat arra, hogy a függvény integrálja nem más, mint az a függvény, aminek a deriváltja az eredeti függvény?

A határozott és határozatlan integrál közötti lényeges különbséget kell itt figyelembe venni.

Definíció szerint a határozatlan integrál azon függvények halmaza, melyeknek deriváltja az adott függvény. (Az inverz fogalmat nem szerencsés használni, mert végtelen sok eleme lehet a határozatlan integrálnak.)

A határozott integrál egy szám, aminek a definíciója elég bonyolult.

A Newton-Leibniz tétel zsenialitása abban van, hogy ezt a két teljesen különböző fogalmat összekapcsolja.

Rajzolj egy tetszőleges f(x) függvényt. Az alatta lévő terület az f(x) integrálja. Ez is felírható egy függvénnyel, ez legyen F(x). Az F(x) definíció szerint az f(x) integrálja.

Na most mennyit változik az F(x) egy dx távolságon? (Ezt jelöljük dF-fel) Mivel F(x) az f(x) integrálja, nyilván f(x)dx-et (egy téglalapnyit).

Tehát dF = f(x)dx

Ha most elosztjuk az egyenletet dx-szel:

dF/dx = f(x).

Ennyi.