Mi az egyszerű magyarázat arra, hogy a függvény integrálja nem más, mint az a függvény, aminek a deriváltja az eredeti függvény?

Nem írtam oda, mert gondoltam, hogy egyértelmű, de azért leírom; rendelkezem a megfelelő alapokkal, nem egy 8 éves kisiskolás vagyok.

És nem az volt a kérdés, hogy a deriválásnak inverze-e az integrálás, hanem hogy MIÉRT ÍGY VAN.

6-os, még mindig nem érted, hogy nem az volt a kérdés, hogy mi az inverz jelentése... Lehet lovagolni azon, hogy szerinted nem tudom, hogy mi az az inverz művelet, de attól én még tisztában vagyok vele. Ellenben úgy tűnik, te nem teljesen;

"Az szorzás inverze az osztás."

Ez a kijelentés ebben a formában nem igaz.

Egyébként pedig, ha úgy lett volna definiálva, akkor nem értem, hogy mi tartott több száz évig azon, hogy a kettő közti kapcsolatot felfedezzék... Maradva a példádnál, hogyha az osztást a szorzásból származtatjuk, akkor nem kell évszázadoknak eltelnie ahhoz, hogy "ja, tényleg az inverze". Erre irányult a kérdés. Sokkal inkább az történt, hogy előbb volt a szorzás, utána másik úton-módon létrejött az osztás, és a kettő közti inverzkapcsolatot csak jóval később tudták belátni.

A másik, hogy a legtöbb helyen pont ugyanígy elintézik annyival, hogy "keress egy olyan függvényt, amit ha deriválsz, akkor az eredetit kapod vissza, és az lesz a területfüggvény", pedig a köztük lévő kapcsolat egyáltalán nem triviális.

Bár már valamennyire tisztul a kép, valahogy mégsem tudom ezt a fajta bizonyítást magamévá tenni. A videók alapján már jobban értem, hogy mi a helyzet, de nekem valahogy mégsem az igazi.

Egy kicsit más megközelítésbe helyeztem a témát, és nekem ez jött ki:

Először is, a lineáris függvények függvény alatti területének valóban deriváltja az eredeti függvény, ezt nem túl bonyolult belátni.

Lineáris függvény: f(x) = ax+b

Függvény alatti terület függvénye: T(x) = (a*x*x)/2 + b*x = a/2*x^2 + bx

T(x) deriváltja (x szerint): T'(x)= ax + b

Szóval lineáris függvények esetén ez szépen tud működni.

Egy másik fontos ténymegállapítást tegyünk meg; ha f(x)=g(x), akkor f'(x)=g'(x). Visszafelé is működik, vagyis ha f'(x)=g'(x), akkor f(x)=g(x), illetve csak konstansban térnek el egymástól, de az eszmefuttatás alapján látni fogjuk, hogy a "+c"-vel nem kell foglalkoznunk.

Vegyünk egy egyszerű függvényt, például f(x)=x^2 és vizsgáljuk ennek a függvény alatti területét a [0;1] intervallumon. Osszuk fel az értelmezési tartományt egyenlő részekre, de most nem téglalapokkal fogjuk közelíteni a területet, hanem az osztópontokhoz tartozó szomszédos függvénypontokat összekötjük, tehát a függvény húrjait húzzuk be. Mivel az x^2 függvény mindenhol konvex, ezért a behúzott húrok mindig a függvénygörbe felett húzódnak.

A szakaszokra fektethetőek egyenesek, amiknek az egyenlete középiskolás módszerekkel felírható, és az előbb látott módon kiszámolható az integráljuk, ezzel az egyenes alá eső rész területe. Ezzel a módszerrel felülről tudjuk becsülni az x^2 alatti rész területét (ha a függvény konkáv lenne, akkor pedig alulról).

Most jön a lényeg: az egyszerűség kedvéért vizsgáljuk a függvényt a [0;x] intervallumon, és az x-et egyre jobban közelítsük 0-hoz, tehát a

lim (x;x^2) =

x->0+

határértéket vizsgáljuk. A függvénygörbén haladva a (0;0) ponthoz közelítjük az (x;x^2) pontot, és ahogyan azt már a deriválásnál láthattuk, a közelítőpont és a kezdőpont a függvény érintőjét határozzák meg (határértékben). Viszont ez egyben azt is jelenti, hogy az általuk meghatározott szakaszra fektetett lineáris függvény megegyezik az eredeti függvénnyel is. Szemléletesen, ha x->0, akkor |x^2-(ax+b)|->0, ahol a;b megfelelő konstansok, vagyis x^2->ax+b, tehát "megfelelő kicsiny környezetben" x^2=ax+b, tehát ebben az esetben a függvény alatti terület számolható a lineáris függvény integráljával, ami a fenti megállapítás szerint ax^2/2+bx, konstans nélkül.

Viszont azt is megállapítottuk, hogy ha f'(x)=g'(x), akkor f(x)=g(x) (konstansok nélkül). Tehát ha az x^2=ax+b, és a függvény alatti területet ax+b integrálja adja meg, akkor ugyanezt a területet az a függvény is meg kell, hogy adja, amelyiket deriválva x^2-et kapunk, az pedig az x^3/3. A +c azért nem kell ide, mert az integráloknak is meg kell egyezniük határértékben;

lim x^2 = lim ax+b = 0, és

x->0

lim x^3/3 = lim ax^2/2 + bx = 0

x->0

Általánosan vizsgálva bármelyik részén a függvénynek ugyanezt kapjuk, vagyis megfelelő a;b konstansokra "megfelelően kicsiny környezetben" ax+b=x^2, így az integráljuk is megegyezik. A szakaszokra fektethető egyenesek egyenletei szakaszonként változnak, viszont az eredeti függvény mindenhol x^2, így pedig az x^3/3 mindenhol megadja a függvény alatti területet.

És emiatt működik az, hogy az integrál deriváltja az eredeti függvény.

A gondolatmenet bármilyen (folytonos) függvényre általánosítható; az f(x) függvény egy pontját kijelöljük, ahhoz tartatunk egy futópontot, a két pont mindig meghatároz egy szakaszt. A szakasz tart a függvénygörbéhez ("rásimul"), így az az alatti terület is tart az eredeti görbe alatti területhez. A szakasz alatti rész nagyságát az integrál adja meg, és mivel a lineáris függvény azon a részen megegyezik az eredeti függvénnyel, ezért az eredeti függvény is integrálható.

Tudom, hogy ez a leírás nem egy precíz bizonyítás, de nem vagyok matematikus, és csak a gondolatomat próbáltam leírni szemléletesen.

Érdekes kérdés viszont, hogy fordítva hogyan lehet belátni, vagyis a derivált integrálja az eredeti függvény, tehát hogy a függvényen végzett műveletek felcserélhetőek.