El tudnál magyarázni egy bonyolult matematikai módszert egyszerűen, számok nélkül?

A derivált az olyan, mintha "ráülnél" a függvényre, meg tudod állapítani, hogy lefelé/felfelé/egyenesen megy és hogy mennyire.

Az integrálással a függvény és az x tengely közötti területet mérhetjük, ahol x fölött van pozitív, ahol alatta negatív. Pl. y=-x függvény integrálja pl: -5 és 5 között 0, mivel egyenlő nagyságok vannak 0-tól jobbra, balra.

Ez a 2 lényege kb, nagyon sok mindenre jók még.

A határozott integrált még tudnék úgy szemléltetni számok nélkül, hogy rajzolok egy függvényt, és beszinezem egy adott tartományban az "alatta" lévő területet..

De egy deriválást vagy határozatlan integrált már nem tudnék így elmagyarázni, de lehet, hogy csak én nem vagyok elég kreatív ehhez.

Egy jobb magyarázathoz segítség ha tudjuk milyen tanulmány van mögöttetek (hány évesek vagytok). Vannak e speciálisabb kérdések, milyen fogalmak érdekelnek még? Vagy milyen újabb kérdések merülnek fel benned a magyarázatom kapcsán.

A kérdésben foglaltakra egy egyszerűbb/szűkös válasz:

Integrálás: terület meghatározása

Mese:

A téglalap egy 4 oldalú síkidom. Az oldalai merőlegesek egymásra. Ha tudod az oldalai hosszát, tudod a területét. Lényegében az "téglalap" megnevezéssel, s eme megnevezéshez szükséges adatok megadásával (oldalhosszak) teljes egészében leírtunk egy ponthalmazt/területet. Geometriailag mondhatjuk határozottnak.

A függvények (garfikus képe/rajza) vonalat írnak le (jobb esetben nem szakad meg). A függvénygöreb az x tengellyel körbekerít egy területet. Mi a hasonlóság a két példa között? Hogy ez egy szintén jól meghatározott terület. Pontosan tudjuk, mik azok a pontok amely a terület része, s melyik nem. Egy matematikust/mérnököt meg furdalja a dolog: ha már ennyire határozottan le tudjuk írni a területet, akkor meg kéne tudnunk adni a nagyságát is. Nem?

Erre szolgál az integrál. Olyan matematikai módszer, mely kifejezetten olyan "téglalap" területét hivatott meghatározni, melynek egyik oldalát egy függvénygörbe írja le.

De nem akarom a falat tele kommentelni, azért mondtam, hogy írd meg a kérdéseid:)

A határozatlan integrál nagyon leegyszerűsítve a deriválás fordítottja.

Deriváláskor azt határozzuk meg, hogy a függvény az egyes pontjaiban milyen meredeken emelkedik, vagy csökken.

Határozatlan integrál számításakor a meredekségek (derivált) ismeretében határozzuk meg az "eredeti" (ún. primitív) függvény görbéjét, de csak a görbe alakját tudjuk így meghatározni, azt nem, hogy az y (függőleges tengely) mentén hol helyezkedik el.

A határozatlan integrálás és a deriválás fügvényekkel végzett műveletek. Mindkettőnek egy függvényt "kap", és egy másik függvényt ad vissza.

A deriválás olyan függvényt hoz létre, ami minden egyes x pontjában megadja az eredeti függvény meredekségét annak az x pontjában.

[link]

Az ábrán egy adott x pontban a meredekséget a dx és dy aránya adja meg (mint az úton a lejtőknél), ennek van egy konkrét értéke, amit iránytangensnek neveznek, de amúgy dy/dx. A derivált függvény egy olyan függvény, aminek ebben az x pontban pont dy/dx lesz az értéke, sőt, minen pontjában megmondja, hogy az eredeti függvénynek ott mi volt a meredeksége.

[link]

Ezen az ábrán néhány függvény és alatta a deriváltja van. Látszik, hogy pl. ahol az eredeti függvénynek nulla a meredeksége (vagyis vízszintes), ott a derivált függvénynek az értéke nulla, vagyis pont ott metszi az x tengelyt.

A határozatlan integrál ennek a fordítottja, a derivált függvényből visszaadja az eredeti függvényt, azzal a különbséggel, hogy az eredmény függvény y tengelyen való eltolása elvész, hiszen a meredekségi adatok csak az eredeti függvény "alakját" adják meg, de hogy milyen magasan volt, azt nem.

A határozott integrál pedig függvény alatti területek kiszámítására használható.

[link]

Például van egy valamilyen f(x) függvény, akkor ezzel felírható (kiszámolható) az alatta lévő terület, pl. az x= a és b között. (De akár úgy is, hogy az egyik vagy mindkét határ a végtelenben van.) Tehát ennek a paramétere egy függvény, és egy konkrét terület értéket ad eredményül.

Deriválás. Ha van egy függvényed, akkor a derivált azt mondja meg, hogy lokálisan, nagyon pici "idő" alatt milyen gyorsan változik az értéke.

Képzeljünk el egy világot, ami nagyon hasonló a mostanihoz, csak éppen a rendőröknek nincs fejlett sebességmérő eszközük. Azért mérik a sebességet, hogy a gyorshajtókat kiszűrjék. Nyíregyháza mellett kiáll a rendőrautó az M3-asra, egy másik pedig Budapest határán. A nyíregyházi mellett elhajt egy bömbi szemmel láthatóan nagyon gyorsan, a rendőrnek gyanús lesz, hogy ez gyorshajtás. Még egy fényképet is készít, időponttal datálva. Odatelefonál a budapesti kollégának, hogy elment itt egy bömbi 11:37-kor, ez és ez a rendszáma. A budapesti kolléga 12:37-kor látja a bömbist a megadott rendszámmal, ő is fényképet készít, időponttal. Bár nincs eszköze a sebesség kimérésére, tudja, hogy a 230 kilométert nem lehetett 130-cal egy óra alatt megtenni. Bömbisnek megy a büntetés a központból.

A jövő héten a bömbis már furfangosabb. Nyíregyházi rendőr látja az ordító gyorshajtást, fotóz, telefonál. Bömbis délben megáll az autópálya melletti egyik étteremben, két óra alatt kiadósan megebédel, majd továbbhajt. A budapesti rendőr is látja az ordító gyorshajtást, fotóz. Központ látja, hogy a 230km-t a bömbis 3 óra alatt tette meg, még 80-nal se ment, esetleg leszól a rendőröknek, hogy ne legyenek már hülyék.

Képzelt világunkban a sebességfogalom gyerekcipőben jár, a 130km/h-s sebességkorlátozás csak azt jelenti, hogy egy óra alatt 130km-nél többet megtenni nem szabad. Fél óra alatt már megtehetsz 115km-t, ha megállsz egy kicsit, mielőtt még fél óra alatt még 115km-t megtennél.

A rendőrök közelebb helyezik a két mérési pontot. Sőt, előállnak egy lézeres kütyüvel, ami néhány centiméternyi útbeli és néhány ezredmásodpercnyi időbeli eltérésekkel tudja a két fotót elkészíteni. Ezek között már nem lehet megállni ebédelni, még csak érdemben változtatni sem a sebességen. A rendőrök igazából kitalálják a mi világunk sebességfogalmát.

És ahogy kezdtem, "ha van egy függvényed, akkor a derivált azt mondja meg, hogy lokálisan, nagyon pici "idő" alatt mennyit változik az értéke", van egy függvény, ami megmondja, hogy mennyi a megtett utad. Kezdetben 0, aztán 1 másodperc után ennyi méter, 2 másodperc után annyi méter, stb. (persze nemcsak másodpercekre, hanem még finomabban, ezredmásodpercekre, sőt, a képzeletünkben az utazás időtartamát tetszőlegesen finoman felosztva minden kijelölt időpillanathoz megmondja, hogy akkor éppen hol tartunk). És a deriváltfüggvény a sebességfüggvény, ami azt mondja meg, hogy az adott időpillanatban mennyire gyorsan haladtunk a megtett úton.

A fizikában rengetegszer előfordul, hogy egy mennyiségfüggvény deriváltja egy mennyiségfüggvény. Ahogyan a megtett útból lesz a sebesség, a sebességből lesz a gyorsulás (ahogyan a sebesség egy adott pillanatban azt mutatja, milyen tempóban változik a megtett út, a gyorsulás azt mutatja, hogy milyen tempóban változik a sebesség). Természetesen nemcsak nagyon konkrét fizikai mennyiségekre van ezeknek értelme, absztrakt függvényeket is lehet deriválni, nem kell, hogy az a való életben jelentsen is valamit.

Integrálás. Ugyanez fordítva. Amikor tudod a mennyiség lokális, pici megváltozását minden pontban, és kíváncsi vagy a mennyiség összes megváltozására. Tehát minden pillanatban tudod a sebességet, hogyan találod ki a megtett utat. Ezt mutatja meg az integrál. Ahogyan mások említették, itt valóban van egy fogalmi eltérés a határozott és a határozatlan integrál között, de mivel téged csak a szemlélet érdekel, erre most nem térnék ki, csak annyit mondok, hogy ez a "találjuk ki az összes megváltozást a pillanatnyi megváltozások ismeretében" a határozott integrál, a határozatlan integrál kiszámítása pedig egy ehhez használt módszer, ami a Newton-Leibniz tétel értelmében a való életben előforduló függvényekre működik.