Ha van egy bonyolúlt síkidomom, hogyan tudom kiszámítani a súlypontját?

Szerintem ezt nem úszod meg integrálás nélkül.

" [link]

Nézd meg itt ezt: "4. példa: Állandó sűrűségű lemez"

Egy egy parabola által határolt lemez tömegközéppontját vezeti le. Neked hasonló kell, csak két parabolával. (Már ha a síkidomodat parabolák határolják.)

Nem jó a link, talán most:

[link]

A súlypontdefiníciót kell használni. A lényeg, hogy az egész tartományt kicsiny delta_A felületelemekre osszuk. Minden ilyen kicsi delta_A -nak van statikai nyomatéka. Ezeket összegezzük, és felírjuk a nyomatéki tételt:

delta_A(1)*x1+delta_A(2)*x2+...+delta_A(n)*xn = szum(delta_A)*xs.

xs az x koordinátája a súlypontnak.

A következő lépés, hogy a felület felosztását minden határon túl finomítjuk. Így a felületelemek átmennek dA-ba, azaz differenciálisan kicsiny felületelembe, a szumma pedig átmegy kettősintegrálba. (EZt egy matematikai kalkulus előadáson precízebben levezetik neked).

Tehát:

kettősintegrál x*dA = xs*kettősintegrál dA.

Ebből a súlypont:

xs=[kettősintegrál x*dA] / [kettősintegrál dA].

Ha az (x,y) derékszögű koordinátarendszert használod, akkor dA=dx*dy. Az integrációs határok pedig a határoló görbék egyenleteiből állapíthatóak meg.

"Az jó, ha kiszámolom a görbék súlypontját, majd az így kapott 2 súlypont mértani közepét veszem?"

Ez hülyeség így ahogyan van. Vonalsúlypont nem egyenlő a területi súlyponttal! (és egyébként is mi köze ehhez a mértani középnek...)

Vannak egyébként CAD szoftverek, ott megrajzolod az alakzatot, és numerikusan megmondja neked a súlypont koordinátáit.

Gratulálok a tudatlan lepontozóknak!

#7 A számtani közép sem jó. A vonalsúlypont nem egyezik meg a felület súlypontjával!!!