R[0;1] halmaz egyenlő a R[0;2] halmazzal?

[link]

[link]

A lényeg, hogy ha kölcsönös egyértelműséget tudsz felmutatni, akkor ugyanannyi szám van a két halmazban.

Például párosítsuk össze úgy a számokat, hogy az R[0;1] halmaz elemeihez azok kétszeresét rendeljük. Értelemszerűen minden számnak pontosan egy kétszerese van, így kész is vagyunk.

Ennyi elég ahhoz, hogy belássuk, hogy a két halmazban ugyanannyi elem van.

Hát igen, a végtelen furcsa dolog, de nem jó a kifejezés, amit használsz.

A két halmaz nem egyenlő. Akkor egyenlő, ha a ugyanazok az elemeik.

Viszont a két halmaz számossága az valóban egyenlő.

"kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés"

De a szélesebb intervallumban van olyan érték, ami nincs a másikban. Értem, hogy elvileg itt azonos a számosságuk, csak nekem az a furcsa, hogy (látszólag?) elméletben sem tudjuk egyenlőséggel bijektíven leképezni egyik halmazból a másikat. (Nem vagyok matek zseni, szóval nem vitatkozni akarok, inkább csak érdekes.)

#4 egyszerre van igazad és nincs igazad. A kulcsot ennek feloldásához a végtelen fogalom adja. És az korántsem annyira egyszerű, hogy kapásból megértsük.

Véges esetben van értelme azt mondani, kisebb, nagyobb. Az egyik halmazban egytől tízig vannak az egész számok, a másikban egytől húszig. Nyilvánvaló, a második nagyobb, az elsőben nincs benne a <14> elem. Az első valódi részhalmaz is, kisebb is.

Na de a végtelen halmazok! Igen, valóban - ahogy mondod - valódi részhalmaz. Az is igaz, hogy a <2>, meg a <1,5>, meg a <1,0001> nincs az elsőben. Azonban módszert kéne adni az összehasonlításra, különben semmit se mondhatunk. Méghozzá olyasmit, ami mindenre igaz. A kölcsönös megfeleltetés ilyen. vedd az <x> számot. Ha x=<1, akkor az elsőben benne van. A másodikban is, de ez most nem számít, mert mi ehhez a másodikból a<2*x> számot vesszük. A trükk az, ha te az elsőből egy tetszőleges elemet mondasz, én a másodikból ezt az előbbit. MINDEN elsőbelihez vanmásodikbeli. Jó, és fordítva? MINDEN másodikbelihez van elsőbeli, tudniillika fele. Azért igaz, hogy ekvivalaencia van, mert MINDIG meg tudom mondani, mi a másikból a megfelelő. Ugyanakkor valóban elképesztően zavaró, hogy tudunk mondani konkrét elemet a másodikból, ami nincs az elsőben. A feloldás a végtelenben van. A számok végtelen sűrűn vannak egymás mellett. Azt szoktuk meg a hétköznapokban, hogy konkrét dolognál van az a sűrűség, hogy nem tudunk kettő közé egy harmadikat gyömöszölni. A végtelen sűrűnél tudunk. Mindig. Ezt kell valahogy megemészteni.

Ezért igaz az is, hogy tudok mondani az R[0;2] halmaznál nagyobb számosságút. Aztán annál nagyobbat is. Aztán ismét. És ez így megy a végtelenségig. A kulcsszó a kölcsönös megfeleltetés. Két végtelen halmazt csakígy tudunk összehasonlítani. És amint találunk egy elemet, aminek nincs megfelelője a másikban, úgy nagyobb számosságú halmazt kaptunk. Persze ha egyet találtunk, akkor végtelen sokat is fogunk.

A halmazelmélet éppen ezzel a kérdéskörrel foglalkozik.