Létezik olyan halmaz, ami tartalmazza saját magát elemként?
A:={a;b;c;d;A}
Nem tudom, hogy ez megengedett-e a matematikában, illetve hogyha igen, akkor hogyan lehetne elképzelni egy ilyen halmazt.
Illetve létezhet olyan A halmaz, amelynek eleme egy olyan halmaz, ami tartalmazza az A halmazt?
A:={a;b;c;d;B} , B:={e;f;g;h;A}
Ilyen halmaz elvileg létezhetne (az én logikám szerint), viszont erre sem tudok matematikai példát mondani.
válasza:
válasza:Volt már kérdés, és elméletben sem lehet. Azt az elvet sérti, hogy két halmaz akkor egyenlő egymással, hogyha elemei megegyeznek, már pedig itt azt kapjuk, hogy
A = {A} = {{A}} = {{{A}}} = ..., pedig ezek nem lehetnek egyenlőek, mivel elemeik nem egyeznek meg.
A másik esetben is ugyanez a történet.
válasza:Megengedett a matematikában, bár nem szokványos.
Úgy kell elképzelni, mint egy irányított gráfot (a csúcsok a halmazok, az élek az 'eleme' reláció) hurokélekkel.
válasza:Történelmileg elég hülye szerepet tölt be az erről szóló axióma a matematikában, itt lehet róla olvasni:
Nagyon sok szerepe nincsen, a matematika 100-ε%-a teljesen közömbös erre az axiómára nézve hogy teljesül-e, mégis, a halmazelmélészek szeretik azt hangoztatni, hogy mindenki ebben dolgozik :|
válasza:#2:
A "bizonyításod" nem jó, mert az általad felírt halmazoknak az elemeik megegyeznek.
válasza:Például A = {A} esetben
A = {A} = {{A}} = {{{A}}} =
belátható indukcióval, és így az elemeik megegyeznek \o/
Az indukcióval való bizonyítást leírnád nekem, ha megkérlek, mert én úgy tudom, hogy:
Pl. legye A egy halmaz, tetszőleges elemszámmal. Egy halmaz akkor egyenlő egy másik halmazzal, ha minden elemük azonos.
A ≠ {A} -val. Mert A egy tetszőleges elemszámú halmaz, de {A} egy egyelemű halmaz, amelynek eleme, az A halmaz.
És {A} ≠ {{A}} -val, mert {A}-nak egy eleme van, az "A" halmaz. És {{A}}-nak egy eleme van, az "{A}" halmaz. Mit mondtunk? Hogy A ≠ {A}, tehát a két halmaz eleme nem azonos, azaz valóban {A} ≠ {{A}} -val.
És {{A}} ≠ {{{A}}} -val, mert {{A}}-nak egy eleme van, az "{A}" halmaz. És {{{A}}}-nak egy eleme van, az "{{A}}" halmaz. Mit mondtunk? {A} ≠ {{A}} -val.
Tehát tényleg {{A}} ≠ {{{A}}} -val.
És {{{A}}} ≠ {{{{A}}}} -val, mert {{{A}}}-nak egy eleme van, az "{{A}}" halmaz. És {{{{A}}}}-nak egy eleme van, az "{{{A}}}" halmaz. Mit mondtunk az előbb? {{A}} ≠ {{{A}}} -val.
Tehát tényleg {{{A}}} ≠ {{{{A}}}} -val.
És ezt folytathatnánk tovább.
*****
Más a helyzet, ha:
A:= {A} , akkor A-nak egy eleme van, az A halmaz.
Ekkor A = {A} -val, tehát nem igaz, hogy A ≠ {A} -val.
Ekkor A-nak egy eleme van, az A halmaz. És {A} -nak egy eleme van, az A halmaz. Hiszen az igaz, hogy {A} = {A}. De a kérdés, hogy a {A} halmazt elnevezhetjük-e A-halmaznak, mert akkor tényleg A = {A}. Tehát a két halmaz egyenlő.
És akkor {A} = {{A}} -val, mert {A}-nak egy eleme van, az "A" halmaz. És {{A}}-nak egy eleme van, az "{A}" halmaz. Mit mondtunk? Hogy A = {A}, tehát a két halmaz eleme azonos, azaz valóban {A} = {{A}} -val.
És akkor {{A}} = {{{A}}} -val, mert {{A}}-nak egy eleme van, az "{A}" halmaz. És {{{A}}}-nak egy eleme van, az "{{A}}" halmaz. Mit mondtunk előzőleg? Hogy {A} = {{A}} -val, tehát a két halmaz eleme azonos, azaz valóban {{A}} = {{{A}}} -val.
*****
Tehát, ha definiáljuk, hogy A legyen egyenlő {A}-val, akkor tényleg igaz az egyenlőség a továbbiakban is. De ez csak akkor van, ha ha az A halmaznak egy eleme van, önmaga. Hogy ilyen lehetséges-e azt nem tudom. Nem tudom, hogy egy halmaz és egy eleme megfeleltethető-e egymásnak. Ha másképp nem, akkor úgy, hogy A-nak kizárólag egy eleme lehet csak, önmaga, és önmagán kívül más eleme nem lehet. Talán így lehetséges.
Bár, ha definiáljuk, hogy A:= {a;b;c;d;A} -val, akkor ugyanúgy igaz lesz az egyenlőség, mint A:= {A} esetén, tehát:
A = {a;b;c;d;A} = {{a;b;c;d;A}} = {{{a;b;c;d;A}}} = {{{{a;b;c;d;A}}}} = stb.
Tehát elvileg A-nak magán kívül még több eleme is lehet, amennyiben definiáljuk.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!