Határozza meg a számtani sorozat első n tagjának összegét?

Számtani sorozatnak nevezzük az olyan számsorozatot, amelyben a szomszédos tagok különbsége állandó (mindig ugyanaz a szám), vagyis az {a[n]} sorozat akkor számtani, hogyha minden n-re teljesül, hogy a[n+1]-a[n]=állandó.

Például vegyük a

2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; ...

sorozatot. Látható, hogy ha bármelyik két szomszédos számot kivonjuk egymásból, mindig 3-at kapunk (az utóbbiból vonjuk ki az előbbit). Ezt nevezzük a sorozat különbségének, vagy idegen eredetű szóval differenciájának, emiatt szokás d-vel jelölni ezt az értéket, tehát ebben az esetben d=3.

Ez a különbség úgy is értelmezhető, hogy "Mennyit kell hozzáadni az előző taghoz, hogy a következőt megkapjuk?";

az első tag: 2

a második tag: 2+3=5

a harmadikl tag: 5+3=8

a negyedik tag: 8+3=11

stb.

Ahhoz, hogy a sorozat tetszőleges tagját meg tudjuk határozni anélkül, hogy az előtte lévőket meghatároznánk, érdemes egy másik szemléletet követni:

az első tag: 2

a második tag: 2+3

a harmadik tag: 2+3+3

a negyedik tag: 2+3+3+3

stb.

Azt érdemes észrevenni, hogy mindig 1-gyel kevesebbszer adtuk hozzá az első taghoz a differenciát, mint ahányadik tagot keressük (például a 4. taghoz 3-szor kellett hozzáadni a 3-at az első taghoz), ez alapján megfogalmazható a következő állítás:

a[n] = a[1] + (n-1)*d

A számtani sorozat tagjait össze is lehet adni, és a legenda szerint Carl Friedrich Gauss tizenéves korában fedezte fel ezt a nagyon könnyű számítás módot;

először leírta a számokat növekvő, aztán csökkenő sorrendben:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26

26 + 23 + 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2

Majd ezeket függőlegesen összeadta:

28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 = 9*28 = 252

Ebben az összegben viszont a sorozat mindegyik tagja pontosan 2-szer szerepel, ezért az eredményt még osztani kell 2-vel: 252:2=126. Ellenőrzésképp akár össze is lehet adni egyesével a tagokat (mivel nincs belőlük sok).

Általánosan; legyen a sorozat első tagja a[1], differenciája d, ekkor a fentiek értelmáben a sorozat n-edik (utolsó) tagja a[1]+(n-1)*d lesz:

a[1] + a[1]+d + a[1]+2d + a[1]+3d + ... + a[1]+(n-3)*d + a[1]+(n-2)*d + a[1]+(n-1)*d

Majd írjuk fel fordítva is őket, ekkor az első tag a[n] lesz, és a többit tagot úgy képezzük, hogy az előtte lévőből levonunk d-t:

a[n] + a[n]-d + a[n]-2d + a[n]-3d + ... + a[n]-(n-3)*d + a[n]-(n-2)*d + a[n]-(n-1)*d

Ezután adjuk össze függőlegesen a számokat; azt látjuk, hogy a "d"-k kiesnek, és összegnek mindig a[1]+a[n] marad:

a[1]+a[n] + a[1]+a[n] + a[1]+a[n] + ... + a[1]+a[n] + a[1]+a[n] + a[1]+a[n]

Hány tagú ez az összeg? Mivel a sorozatnak n tagja volt, ezért ez az összeg is n-tagú, tehát a szorzás definíciója szerint felírható n*(a[1]+a[n]). Akárcsak a példában, itt is 2-vel osztani kell a kapott eredményt, mivel minden tag kétszer szerepel benne, tehát a számtani sorozat n-edik tagjáig a tagok összege:

(n*(a[1]+a[n]))/2

És itt még nincs vége! Azt is tudjuk, hogy az a[n] felírható más alakban is; ennek fényében a képlet átírható

(n*(a[1]+a[1]+(n-1)*d))/2 = (n*(2*a[1]+(n-1)*d))/2

alakra.