Kettős integrál, polárkoordinátákra való áttérés?

Láthatóan fogalmad sincs, hogyan történik a változócsere. Emiatt írtam le a txt formázási lehetőségei adta körülmények közt, hogyan kell felhasználni. Integráljelet nem tudtam írni elé, lehet, jó lett volna. Gondoltam ebből már világos lesz neked. Tévedtem.

Nincs detJ az y felírásakor. Az az x(r, phi) és y(r, phi) felírása miatt azokra együttesen vonatkozik. Az egyik változócsoportról a másikra áttérést írja le.

Tanulj meg a Google-ban keresni!

1. Google: integrálás változócsere polárkoordináta.

2. A találatok közül jó eséllyel választ ad a Wikipédia.

3. Wikipédia : polárkoordináta

4. Rákeres integrálás

Lőn csoda. Ott van egy botegyszerűségű válasz.

Jobban jársz, ha megtanulsz keresni, mert:

1. Gyorsabb a Gyakorinál.

2. Emberek megkérdetése nélkül megtudsz dolgokar, azaz magadtól tanulsz és okosabbnak tűnsz, mintha csak embert megkérdezve tudnád meg a dolgot.

3. Nem futsz össze ilyen frusztrált barmokkal, mint én.

Komprende amigo? 😀

"Az y felírásakor miért r/2 van?"

Igazából azért, mert ha megnézed a tartományodat, akkor ez egy ellipszis belseje lesz. És az ellipszist így tudod szépen paraméterezni.

Ha pl. x^2 +y^2 ≤ valami lenne, akkor egy kör belsejéről lenne szó, ott egyszerűen azt írhatnád hogy x = r cos ϕ és y =sin ϕ.

A kör általában szokott menni az embereknek, az ellipszissel már bajban vannak, főleg ha nem adják meg a paraméterezést.

Múltkor egyik kérdésnél jött egy kötekedő válaszoló, és egyszerűen nem értette, hogy az ellipszissel mit lehet kezdeni. Hiába meséltem neki az elliptikus koordinátarendszerekről, meg a paraméterezésről, képtelen volt bármit megérteni belőle, látszott mennyire buta, csak kötekedett végig. Ezt azért mondom, hogy remélem nem téved ide az illető, mert akkor ismét fullra trollkodja ezt a kérdést is.

Visszatérve, amit még kell tudni az a paramétertartományok, amelyek egyben integrációs határok is lesznek.

Az ellipszis egyenlete ugye általánosan:

(x/a)^2+(y/b)^2=1, ahol a és b a féltengelyek.

A példádban a=sqrt(12) és b=sqrt(3).

Általában a paraméterezés pedig {x=a*cosϕ; x=b*sinϕ} alakú.

Namost nálad az a és b az r-el van megadva.

Az egyenlet a paraméterezéssel:

r^2*(cosϕ)^2 +4*(r/2*sin ϕ)^2 ≤ 12 alakú amiből

r^2=6 adódik. Ezért az r-re vonatkozó paramétertartomány:

r € [0,sqrt(6)]. Negatív nem lesz, mert az egész transzformáció az ellipszist lényegében egy polárkoordináta-rendszerbeli körbe transzformálja.

ϕ pedig 0 és 2pi közötti, azaz ϕ € [0,2pi].

Most jön az, hogy f(x,y)-ont is átviszed az (r,ϕ) rendszerbe, és lesz egy f(r,ϕ) függvényed.

f(r,ϕ)=3*(r cos ϕ)^2−r/2*sin ϕ

Végül pedig az elemi felületek közötti transzformációt kell számítani, ehhez kell a Jacobi-determináns.

dx*dy = dr*dϕ*detJ, azaz dx*dy=dr*dϕ*r/2.

Tehát a kettős integráljel mögött az alábbi lesz:

[3*(r cos ϕ)^2−r/2*sin ϕ]*dr*dϕ*r/2

Ezt kell integrálnod r szerint 0 és sqrt(6) között, ϕ szerint pedig 0 és 2pi között.

Érthető?

Persze másképpen is ki lehet ezt integrálni, ha lesz rá igény, elmondhatom azt is.