Mi ( y / x * log2 ( x ) + 2xy ) x szerinti integrálja?

Remélem, tényleg erre gondolsz: y / x * log2 ( x ) + 2xy

, és nem y / (x * log2 ( x )) + 2xy -ra.

Akkor y-t ki lehet az egészből emelni és ez lesz az integrál:

y * (ln2*(log2(x))^2 + x^2) + cy

Egy elírást tényleg csinált vurugya kolléga, egy 2-es szorzó lemaradt és az ln is inkább osztóba megy mint szorzóba. De ha a kérdező még azt sem látja, hogy az ln hogyan jön be, akkor nagy bajok vannak a középiskolai elemi logaritmus azonosságok ismeretében is.

Javaslom a kérdezőnek, tekintse át azt a fejezetet, hogy különböző alapú logaritmusokat hogyan írjuk egymásba át. Mivel ln(x) integrálja triviális, javaslom a kérdezőnek, hogy egy 'p' alapú logaritmus x -re is vezessen le először képletet.

> „egyébként meg miért lesz a log2(x) integrálja önmaga, csak négyzeten?”

A log2(x)/x integrálja lett log2(x) a négyzeten, nem pedig log2(x)-é.

Átláthatóbb lesz, ha áttérünk természetes logaritmusra:

log2(x)/x = ln(x)/x/ln(2),

és innen kezdve csak az ln(x)/x-szel foglalkozunk, az 1/ln(2) egy konstans, azzal majd szorzunk a végén. Itt vegyük észre, hogy az f(x) = ln(x) deriváltja az f'(x) = 1/x, tehát valami f(x)*f'(x) függvényt kell integrálni, egy olyan függvényt keresünk, aminek a deriváltja önmaga szorozva a deriváltjával. Ilyesmi a u*v deriváltjáról rémlik, az u'*v + u*v'. Ha mind a kettő f lenne, akkor u*v = f^2, és 2*f*f' a derivált. Ezek szerint f(x)*f'(x) az az 1/2*f(x)^2 deriváltja.

Így lett az integrálban a logaritmus a négyzeten. Szóval

int(ln(x)/x, x) = 1/2*ln(x)^2 + C.

int(ln(x)/ln(2)/x, x) = 1/ln(2) * ln(x)^2/2 + C = //Bővítünk ln(2)-vel

= ln(2)/2 * ln(x)/ln(2) * ln(x)/ln(2) + C = ln(2)/2 * (log2(x))^2 + C.

> „és az ln is inkább osztóba megy mint szorzóba”

Inkább maradjon a szorzóba. Vagy lehet, hogy csak arról maradt le a ko… válaszadó (nem vagyunk kollégák), hogy Vurugya úr kettes alapú logaritmussal adta meg a végeredményt. (Olvasás/szemüveg/olvasószemüveg… Ugye. De mindegy…)

És akkor, hogy a helyes végeredmény is itt legyen:

int(y/x*log2(x) + 2*x*y, x) = y*int(log2(x)/x + 2*x) =

= y*(ln(2)/2 * (log2(x))^2 + x^2) + C(y).

> „Szerintem elírtad, mert 'az' nem ln2, hanem lnx lenne”

Itt a jelölt 'az' az pontosan mire utal?

"Nem fogok semmit se átnézni"

Ilyen hozzáállással nem sok sikert fogsz elérni. A lustaságra nincs gyógyszer, ha mi oldjuk meg helyetted a feladatot, attól még nem fogod tudni.

"mert nem tudom, hol keressem és mit"

Ahogy írtam, különböző alapú logaritmusok közötti áttérést kellene megtanulnod, ami középiskolás tananyag. De ezek szerint az olvasás sem megy...

Egyébként az ln(x)/x-et rutinosabban is lehet integrálni.

Gyakorlottabbak azonnal felismerik, hogy ez az integrandus

f '*f^(k) alakú, aminek a primitív függvénye -mint közismert- f^(k+1)/(k+1)+konst.

Most nyilván f '=1/x és f=ln(x), ill. k=1 esetről van szó.

Ebből tehát önként adódna a 0.5*[ln(x)]^2+konst megoldás még a kérdező számára is, ha hallott volna az integrálási szabályokról és módszerekről...

De aki ugye nem hajlandó kinyitni Bárczy integrálszámítás könyvét sem (ami az egyik legjobb könyv egyébként az ilyen feladatok gyakorlására) az nem fogja megtanulni ezeket a rutinos lépéseket.