Hogyan vezethető le az x^3 függvény deriváltja és integrálja?

A deriváltat definíció alapján lehet levezetni. Most néhány napja x^2-re levezettem valakinek, hogy miért 2x jön ki. Keress vissza!

Emlékként: Legyen f a fv.-ünk, ekkor

df/dx=lim[f(x+h)-f(x)/h] ha h->0.

Tehát most df/dx=lim[(x+h)^3-x^3]/h, ha h->0. Ebből kijön hogy 3x^2.

Sőt a binomiális képletek segítségével levezethető hogy x^k-nak k*x^(k-1) lesz a deriváltja.

Az integrálás már kissé komplettebb dolog, de ott is a definícióhoz kell visszanyúlni.

Legyen adva ugyanis egy (szakaszonként) folytonos f fv. és legyen értelmezve valamely [x0,xp] intervallumban.

Vezessük be a h:=(xp-x0)/N lépésközt, ahol N egész.

Ekkor definíciószerűen:

integrál f x0-tól xp-ig=lim[szumma{h*f(xj)} j=0,...,p] ha N->végtelen.

Érdekesség, h. ugyanezt kapjuk, ha az

lim[szumma{h*f(xj)} j=1,...,p+1] ha N->végtelen határértéket számítjuk ki.

Ezt úgy lehet szemléltetni, hogy véges N esetén az első formula szerinti lim-argumentum az integrálnak egy alsó becslése, a második formulánál pedig egy felső.

A rendőr-elv segítségével pedig igazolható hogy a kettő ugyanaz, így maga az integrál is.