Egy háromszög egyik csúcsa A (–4; 1), súlypontja S (0; 3), a köré írható kör középpontja O (–1; 5). Számítsa ki a háromszög hiányzó két csúcspontjának a koordinátáit!?

Egyrészt mindegyik csúcsnak rajta kell lennie az O középpontú OA sugarú körön, másrészt az A-val szemközti oldal P középpontját könnyen ki tudod számolni abból, hogy a súlypont harmadolja a súlyvonalat, ami pont az oldal közepébe fut (az AS félegyenes mentén kell mennie még egy másik fél (azaz másfél – de szép a nyelv) AS távolságot az A-tól). A P-n át haladó OA-ra merőleges egyenes kimetszi a B és C csúcsokat a köré írt körből.

Így megy?

Neked is ennyi jött ki?

[link]

Most még nem számoltam egy kukkot se, de nézzük:

> „mindegyik csúcsnak rajta kell lennie az O középpontú OA sugarú körön”

abs(OA)^2 = (–3)^2 + (–4)^2 = 5^2.

Így a kör egyenlete: (x + 1)^2 + (y – 5)^2 = 5^2.

> A BC oldal P középpontjára:

vek(P) = vek(A) + 3/2*vek(AS) = (–4, 1) + 3/2*(4, 2) = (2, 4).

> „A P-n át haladó OA-ra merőleges egyenes”

Itt ezt elírtam, természetesen az OP-re merőleges egyenes kell.

Az vek(OP) = (3, -1) irányvektor éppen merőleges BC-re, tehát annak ez normálvektora. Ebből a BC egyenes egyenlete

3*x – y = 3*Px – Py = 2.

> „az OP-re merőleges egyenes kimetszi a B és C csúcsokat a köré írt körből.”

y = 3*x – 2.

Ezt a kör egyenletébe helyettesítve

x^2 + 2*x + 1 + 9*x^2 – 42*x + 49 = 25,

10*x^2 – 40*x + 25 = 0,

xB = 2 – gyök(3/2); xC = 2 + gyök(3/2);

yB = 4 – 3*gyök(3/2); yC = 4 + 3*gyök(3/2).

Szóval stimmel.