Ez melyik tétel? Ha P polinommak vannak racionális gyökei, akkor véges sok próbálkozással megkaphatók a (+) / (-) konstans osztói/ legmagasabb fokszámú tag együtthatóinak osztói -nak hányadosából. Lehet nem ez szóról szóra, fejből írtam

Esetleg 'racionális gyökteszt', meg ugye feltétel, hogy az együtthatók legyenek egészek (illetve legalább racionálisak, ugye akkor először szorzunk egy közös nevezővel), de egyszerűen végig gondolható:

Ha a polinom

a*x^n + b*x^(n – 1) + … + y*x + z,

ahol a, b,… y és z egészek és legnagyobb közös osztójuk 1 (ha mégse, akkor ugye osztunk a legnagyobb közös osztójukkal), akkor a racionális gyököket keressük x = p/q alakban, ahol ugye p és q egészek, és legyenek ők is relatív prímek. Ekkor

a*(p/q)^n + b*(p/q)^(n – 1) + … + y*(p/q) + z = 0, \\ *q^n

a*p^n + b*p^(n – 1)*q + … + y*p*q^(n – 1) + z*q^n = 0.

Ekkor egyrészt az első n tagból kiemelhetünk p-t:

p*(azelsőntagösszege) = –z*q^n,

mivel p és q relatív ezért p*(azelsőntagösszege) osztója z-nek, és mivel ez minden x-re teljesül, ezért p-nek is osztani kell z-t. Tehát a racionális gyök számlálója osztja a konstans tagot.

Másrészt az utolsó n tagból kiemelhetünk q-t, és akkor ugyanígy azt kapjuk, hogy a nevezőjének osztania kell a legmagasabb fokszámú tag együtthatóját.

Szóval a, b,… y és z legyenek egészek úgy, hogy LNKO(a, b,… y, z) = 1 (ugye ez egy egyszerű szorzással/osztással elérhető, ha a polinom együtthatói racionálisak), másrészt ez az olyan a racionális gyökökről mond valamit, aminek a számlálója és a nevezője relatív prímek.

Na, itt az 5. oldal alján kicsit értelmesebben leírták, mint ahogy nekem sikerült:

[link]

Bocsánat.