Ha a háromszögben adott hogy c=4, cos gamma=3/4 és sin alfa:sin gamma=3:2 hogy kell kiszámitani az a és b oldalt?

https://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__egyeb-kerdesek__9..

Melyik része nem volt érthető a válasznak? ...

szinusz tétel:

sinα/sinγ=a/c

3/2=a/4

Ebből megvan a.

koszinusztétel:

c²=a²+b²-2abcosγ

Ebben csak b az ismeretlen.

Ismerjük azt az azonosságot, hogy sin^2(x)+cos^2(x)=1. Ebből kiindulva

-emeljük négyzetre az egyenletet: cos^2(gamma)=9/16

-adjunk hozzá sin^2(gamma)-t: sin^2(gamma)+cos^2(gamma)=9/16+sin^2(gamma)

-így a bal oldalon a fenti azonosság szerint 1 van: 1=9/16+sin^2(gamma)

-kivonunk: 7/16=sin^2(gamma)

-végül gyököt vonunk, ekkor két megoldást kapunk: gyök(7)/4=sin(gamma) és -gyök(7)/4=sin(gamma), azonban a második nem kell, mert csak a 180°-nál nagyobb szögek szinusza negatív, már pedig nekünk 180°-nál kisebb szögeink vannak.

Innen meg tudjuk határozni cos(alfa) értékét, csak behelyettesítünk az egyenletbe:

sin(alfa)/(gyök(7)/4) = 3/2, szorzunk:

sin(alfa)=(3*gyök(7))/8, négyzetre emelünk:

sin^2(alfa)=63/64, hozzáadunk cos^2(alfa)-t:

sin^2(alfa)+cos^2(alfa)=63/64+cos^2(alfa), így a bal oldalon újra 1 van:

1=63/64+cos^2(alfa), kivonunk:

1/64=cos^2(alfa), végül gyököt vonunk:

1/8=cos(alfa) és -1/8=cos(alfa). Itt mindkettővel kell számolnunk, mert az alfa szög simán lehet tompaszög is.

Innentől két szálon fut a történet aszerint, hogy melyik cos(alfa) értékkel számolsz. Már csak egy szinusz- és egy koszinusztétel kell az oldalak meghatározásához.

Ha megvan mindegyik szög és mindegyik oldal, akkor még azt kell megnézned, hogy a "nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van" feltétel teljesül-e, ehhez csak annyit kell tenned, hogy növekvő sorrendbe rakod az oldalakat, alájuk pedig leírod a velük szemközti szögeket (itt már mindenképp kivédhetetlen, hogy kiszámold számológéppel a szögértékeket). Ha azok is növekvő sorrendben lesznek, akkor az a megoldás jó lesz, ha nem, akkor az nem jó (nem azért nem jó, mert elszámoltad, hanem mert a cos(alfa)-ra két értéket kaptál, de az egyik fals).

Valóban, van egyszerűbb megoldás is. Ezt valahogy nem vettem észre.

Mindenestre az én megoldási módomat is érdemes elemezni, a későbbiekben kelleni fog azt is használni.