Az ABC háromszögben alfa 94 fok, gamma pedig 39 fok. Miért igaz, hogy AB^2=AC^2+AC*AB?

Szerintem nem igaz.

beta = 180-94-39 = 47 fok

AB/AC = sin(gamma)/sin(beta) = sin(39)/sin(47)

(AB/AC)^2 -1 - (AB/AC) = (sin(39)/sin(47) )^2 - 1 - (sin(39)/sin(47) ) = -1.12004908

Szorozzuk mindket oldalt AC^2-tel

AB^2 - AC^2 -AB*AC = -1.12004908*AC^2

AB^2 = AC^2 +AB*AC -1.12004908AC^2 ≠ AC^2+AC*AB

Mondjuk AC = 1 (az altalanossag megszoritasa nelkul valaszthato, mert a szogek hasonlosag erejeig hatarozzak meg a haromszoget)

AB/AC = sin(gamma)/sin(beta)

AB = 0.860487053

AB^2 = 0.740437968

AC^2 + AC*AB = 1 + 0.860487053 = 1.86048705

Nem nyert.

BC^2=AC^2+AC*AB

Rajzolj abrat

Hosszabbitsd meg az AC oldalt az A-n tulra annyival mint AB.

Legyen ez a D pont.

Ekkor CAB∡ = 94

ABC∡ = 47

BCA∡ = 39

DAB = 180 - BAC = 86

AB = AD

egyenlo szaru haromszog, ezert:

ADB∡ = ABD∡ = 180-86/2 = 47

Vagyis

CDB∡ = 47 DBC∡= 94 , BCD = 39

Vagyis DBC hasonlo BAC-hez

Ezert CB/CD = AC / CB

DC= AB + AC helyettesitessel

CB^2 = AC*(AB+AC)

Ez az amit akartal.

A feladat meg van oldva, de lenne néhány gondolatom vele kapcsolatban.

Az egyenlőséget BKRS levezetése korrekten bebizonyította.

De nem ez a válasz a kérdésre.

Ez a háromszög sokkal érdekesebb, mint amennyire elsőre látszik.

A válasz: azért igaz a fenti egyenlőség, mert akkorák a szögei, mint amekkorák meg vannak adva. Nem véletlenek az értékek!

Egy kicsit átfogalmaznám a feladatot, a háromszögnél megszokott jelölésmódot alkalmazva

Legyen

BC = a

CA = b

AB = a

α = 94°

γ = 39°

ezekből

ß 180 - (α + γ) = 47°

A feladatban említett igazolandó összefüggés az új jelölésekkel:

a² = b² + b*c

ill

a² = b(b + c)

Ez utóbbi formát úgy is is lehet értelmezni, hogy a háromszög 'a' oldala a 'b' oldal valamint a 'b' és 'c' oldal összegének a mértani középarányosával egyenlő!

Ez a szabály a lényeg, ez szabály határozza meg háromszög minden egyéb adatát is.

A feladat arányainál maradva

a > b > c

Van három különböző hosszúságú oldal, viszonyítsunk a középsőhöz, vezessük be a következő jelöléseket:

a/b = p

c/b = q

így az oldalak

a = b*p

b = b

c = b*q

Ha ezekkel írjuk le a háromszög szabályát:

a² = b(b + c)

b²p² = b(b + b*q)

Egyszerűsités után azt kapjuk, hogy

p² = 1 + q,

tehát ez az összefüggés az oldalak arányai közt.

De ahol oldalarányok vannak, vannak szögarányok is.

A szinusz tétel szerint:

p = a/b = sinα/sinß

q = c/b = sinγ/sinß

Ezeket behelyettesítve az oldalarányok egyenletébe, rendezés után adódik:

sin²α = sinß(sinß + sinγ)

ami azt jelenti, hogy a szögekre is fennáll a mértani középnek megfelelő összefüggés.

Ki lehet próbálni a feladat adataival, hogy érvényes az összefüggés; de csak azért, mert a szögek - és ezzel együtt az arányaik is - a háromszög képzési szabályainak megfelelően vannak megadva.

Felmerülhet a kérdés, hogy lehet ilyen háromszöget kreálni, mik a képzés határai?

A szögek meghatározásához a koszinusz tételet lehet használni, felhasználva a

a = b*p

b = b

c = b*q

értékeket és a

p² = 1 + q

összefüggést.

Nem részletezem a levezetéseket, csak a végeredményt írom le.

cosα = (b² + c² - a²)/2bc

cosα = (p² - 2)/2

cosß = (a² + c² - b²)/2ac

cosß = p/2

cosγ = (a² + b² - c²)/2ab

cosγ = p(3 - p²)/2

Látható, hogy két oldal megválasztásával meghatározható a szabálynak megfelelő háromszög minden adata.

A határok.

A

cosγ = p(3 - p²)/2

képletből látható, hogy

p = √3

esetén van szélső értéke

Ennél nagyobb értékek esetén a cos függvény nem értelmezhető.

Ekkor

cosγ = 0

γ = 90

cosα = 1/2

α = 60

cosß = √3/2

ß = 30

Tehát egy egyenlő oldalú háromszög felének megfelelő háromszöget kapunk.

Bármilyen meglepő, de erre a háromszögre is áll az

a² = b(b + c)

összefüggés.

Egy másik érdekes eredmény

A

cosα = (p² - 2)/2

egyenletből

p = √2

akkor

α = 90

ß = 45

γ = 45

tehát egy egyenlőszárú derékszögű háromszög áll elő.

Továbbá

ha

p = 1

akkor

α = 120

ß = 60

γ = 0

vagyis az 'a' oldal párhuzamos lenne a 'b' oldallal, amiből nem lesz háromszög. :-)

Végül is, minden

1< p < √3

érték esetén meghatáérozható a szabálynak megfelelő háromszög.

Talán valakinek gondolatébresztő lehet a fenti eszmefuttatás. :-)

DeeDee

*************