Bizonyítsd be az egyenlőséget a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2>=abc, ha afott, hogy a+b+c=1!?

Van egy hasonló feladat, hogy

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx, amit megszorzol kettővel, és kijön, hogy

x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xy+x^2>=0

És ez már igaz, hiszen (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0.

Ez a feladat ehhez hasonló. Az első trükk, hogy mivel a+b+c=1; ezért ha beszorzol (a+b+c)-vel, akkor semmi nem történik, hiszen 1-gyel szorzol. Szorozzuk meg hát a jobb oldalt.

abc=abc(a+b+c)=a^2bc+ab^2c+abc^2

És ez már hasonlít a fentebb leírt példála, ha x=ab; y=bc; z=ca-t írsz.

Egyenlőség meg akkor van, ha x=y=z, azaz ab=bc=ca, azaz a=b=c.