Legyen abcd természetes szám, amelyre c+ab+abcd+cd+d=2018. Igaz-e, hogy b= c+d? Bizonyitsd be.

Könnyen látható, hogy abcd csak 19.. vagy 18.. lehet 20.. már nem.

Ha ab=19, vonjunk ki 19-et és 1900-at, marad

2 cd + c + d = 99 ebből c=4 lehet csak (2 db egyjegyűt adunk 2 cd-hez)

vonjunk ki 2*40+4-et, marad 3 d = 15, d=5, abcd=1945

Nézzük meg, hogy ab=18-cal van-e megoldás,

vonjunk ki 18-et és 1800-at, marad

2 cd + c + d = 200, ebből c=9 lehet csak

vonjunk ki 2*90+9-et, marad 3 d = 11, nincs megoldás.

[c]+[ab]+[abcd]+[cd]+[d] = 2018

Ha ezt az alak érték és a helyiérték szorzataként írjuk fel, akkor:

c + 10a + b + 1000a + 100b + 10c + d + 10c + d + d = 2018

1010a + 101b + 21c + 3d = 2018

Mivel négyjegyű a szám, ezért a≥1. Viszont a nem lehet 2 vagy több, mert a 1010a 2020 vagy több lenne. Ergo: a=1

~ ~ ~

1010*1 + 101b + 21c + 3d = 2018

1010 + 101b + 21c + 3d = 2018

101b + 21c + 3d = 1008

101b = 1008 - 21c - 3d

c és d maximum 9 lehet, így:

101b ≥ 1008 - 21*9 - 3*9

101b ≥ 792

b ≥ 7,8

Trükközzünk, osszuk le az egyenlet mindkét oldalát 3-al:

101b + 21c + 3d = 1008

101b/3 + 7c + d = 336

Ergo b-nek 3-al oszthatónak kell lennie, különben az egyenlet bal oldala nem lenne egész.

Ergo: b=9

~ ~ ~

Behelyettesítve:

1010a + 101b + 21c + 3d = 2018

1010*1 + 101*9 + 21c + 3d = 2018

1010 + 909 + 21c + 3d = 2018

21c + 3d = 99

7c + d = 33

Ha c=4, akkor d=5.

Ha c≤3, akkor d≥12, ami nem jó, mert d egyjegyű.

Ha c≥5, akkor d≤-2, ami nem jó, mert d pozitív egyjegyű.

~ ~ ~

Az egyetlen szám, amire igaz, hogy:

[c]+[ab]+[abcd]+[cd]+[d] = 2018

a = 1

b = 9

c = 4

d = 5

[abcd] = 1945

Erre meg igaz, hogy:

b = c + d

9 = 4 + 5