Lim (x tart -4) (x+1) / (x+4) ^2 -n hova tart és miért?

lim x->-4 [(x+1)/(x+4)]^2 =

lim x->-4 (x+1)^2/(x+4)^2

Ácsi! Ne tovább! Gondolkozzunk el egy kicsit, hogy mit is látunk:

* A számláló biztos, hogy pozitív lesz a négyzetre emelés miatt.

* A nevező biztos, hogy pozitív lesz a négyzetre emelés miatt.

* Látjuk, hogy a nevező 0, tehát feltehetően x=-4-ben szakadási pontunk van.

Akkor vizsgáljuk meg két oldalról a határértéket:

1. Pozitív oldalról tartunk -4-hez:

lim x->-4(+) (x+1)^2/(x+4)^2 = ?

* Korábban már megállapítottuk, hogy mind a számláló, mind a nevező pozitív a négyzetre emelés miatt.

* Pozitív számot osztunk +0-val. => A határérték: +végtelen

2. Negatív oldalról tartunk -4-hez:

lim x->-4(-) (x+1)^2/(x+4)^2 = ?

* Pozitív számot osztunk +0-val. => A határérték: +végtelen

Vonjuk le a következtetéseket és ezzel meg is oldottuk a feladatot:

A két oldali határérték megegyezik, tehát VAN határértéke a függvénynek x=-4-ben és ez +végtelen.

A megválaszoláshoz érdemes visszatérni az alapokhoz; tudjuk, hogy a

lim 1/x

x->0

határérték nem létezik. Ezt onnan tudjuk, hogy a határértéket két oldalról vizsgáljuk;

-ha x>0, akkor a

lim 1/x

x->0+

jobboldali határértékre azt kapjuk, hogy, ha létezik, akkor biztosan pozitív, mivel a számláló és a nevező is pozitív. Ahogyan a 0-hoz közelítünk, úgy maga a hányados értéke a végtelenhez fog tartani. Szemléletesen ezt úgy lehet belátni, hogyha mindig fele akkora számot írunk x helyére;

1/1=1, 1/(1/2)=2, 1/(1/4)=4, stb. Nyilván ahogyan felezzük a nevezőt, úgy nő kétszeresére a tört értéke, és a nevezőt végtelen sokszor el lehet felezni, tehát a határérték végtelen lesz.

-ha x<0, akkor a

lim 1/x

x->-0

baloldali határértéket vizsgáljuk. Nem nehéz rájönni, hogy a metódus ugyanaz lesz, mint az előbb, annyi különbséggel, hogy a nevező negatív, a számláló pozitív, így a határérték -végtelen lesz.

Mivel végtelen =/= -végtelen, ezért a függvénynek nincs határértéke az x=0 pontban.

Itt érdemes megjegyezni azt hogy ha a határérték nem0/0 alakú (mint ahogy itt 1/0 alakú volt), akkor mindig vagy +-végtelen a határérték, vagy nem létezik, ez utóbbi volt most. Ha 0/0 alakú a határérték, akkor bármi lehet, ez a függvénytől függ (például az x/x határértéke nyilván 1 lesz x->0-ra, de a (2x)/x határértéke már 2, pedig mindkettő 0/0 alakú; persze ennél lesznek majd cifrábbak is, csak szemléltetésként mutattam, hogy miért lehet gyakorlatilag bármi ilyenkor a határérték).

Azonban sok esetben az "x>0" vizsgálat nem elég, mert lehet, hogy ezen a tartományon a számláló és a nevező is (akár végtelen sokszor) előjelet vált, ezért vagy mindenképp egy szűkített értelmezési tartományra lesz szükség, ahol "megnyugszanak" az előjelek, vagy ha ilyen nincs (mert ilyen is lehet), akkor más megoldást kell majd keresnünk, de azt majd akkor. Most nem volt szükséges kikötni, hogy x értéke mi legyen minimum illetve maximum, mert azokon az intervallumon a függvény ugyanúgy viselkedik előjel szempontjából.

Nézzük a következő alapvető példát:

lim 1/x^2

x->0

Érdemes ezt is meggondolni a fentiek szerint, de a lényeg az lesz, hogy mindkét oldali határérték végtelen, mivel a nevező mindig pozitív, akárcsak a számláló, így a határérték végtelen lesz.

A határérték értelemszerűen akkor lesz -végtelen, hogyha a számláló és a nevező előjele is elüt, erre a legegyszerűbb példa a -1/x^2 függvény.

Ezek ismeretében az általad felírt függvény határértéke -végtelen lesz, de azt neked kell meggondolnod, hogy miért.

A WolframAlpha másik véleményen van:

[link]

Ha x tart -4hez akkor a számláló tart -3hoz. Ahogy az előttem szólók írták a függvénynek szakadása van -4ben ezért vizsgálni kell a bal és jobboldali határértéket ebben a pontban. Szemléletesen megnézed a "határértéket" a -3,99ben és a -4,01ben számógéppel.

A nevező bal és jobboldali határértéke a négyzetreemelés miatt +0. Így a tört határértéke -3/+0 ami - végtelen. Tudom nem egy matematikus magyarázat de én anno így értettem meg.