Mátrixszorzás, help?

A*B=I

szorozzuk mindkét oldalt jobbról A-val:

(A*B)*A=I*A

ismerve, hogy a mátrixszorzás asszociatív:

A*(B*A)=A

tehát B*A egységmátrix

#1-nek van igaza: ez nem absztrakt algebra feladat, hanem lineáris algebra. Az asszociativitást felhasználni önmagában nem elég. #3-is csak addig jutott el, hogy A*(B*A)=A, ami, lássuk be, nem túl sok.

Pl megmutathatod hogy mondjuk az A reguláris, és hogy B= 1/detA * adjA alakú.

Esetleg: feleltessünk meg az nxn dimenziós mátrixoknak R^n --> R^n lineáris leképezéseket, ahol R^n most az oszlopvektorok terét jelöli. Mutassuk meg, hogy a mátrixszorzás a kompozíció lesz. Ekkor az A mátrix, mint függvény bijektív, és az inverze B.

R helyett nyilván tetszőleges test feletti mátrixokra igaz, gyűrű feletti mátrixokra most nem tudom hogy egyáltalán az állítás igaz-e.